bon exercice 2

bonjour a tous
determiner toutes les fonction f de R ver R CONTINUES TELLE QUE POUR x ; y réél on a : f[(x+y)/2]=[f(x)+f(y)]/2

Bonjour,

otman4u a écrit:

bonjour a tous
determiner toutes les fonction f de R ver R CONTINUES TELLE QUE POUR x ; y réél on a : f[(x+y)/2]=[f(x)+f(y)]/2

Intuitivement : Si M et N sont deux points du graphe de f, leur milieu l'est aussi ==> le graphe est une droite et f(x)= ax+b

Rigoureusement, c'est moins facile :
Soit a > 0
Soit x réel quelconque
1) On peut démontrer par récurrence que f(x+(p/2^n)a) = f(x) + (p/2^n)(f(x+a) - f(x)) pout tout p entier dans [0,2^n] et tout n >=0
C'est évident pour n=0
Si c'est vrai au rang n, c'est automatiquement vrai au rang n+1 pour les p pairs.
Pour les p impairs, il suffit d'appliquer la relation fonctionnelle avec les deux valeurs x+(p/2^n)a et x+((p+1)/2^n)a

2) par continuité, on en déduit f(x+z*a)=f(x)+z(f(x+a)-f(x)) pour tout z dans [0,1]. Donc f est dérivable en x (faire (f(x+za)-f(x))/(za) avec z tendant vers 0) et f est confondue avec sa tangente

==> f(x) = ax+b

--
Patrick

pco a écrit:

Bonjour,

Intuitivement : Si M et N sont deux points du graphe de f, leur milieu l'est aussi ==> le graphe est une droite et f(x)= ax+b

Rigoureusement, c'est moins facile :
Soit a > 0
Soit x réel quelconque
1) On peut démontrer par récurrence que f(x+(p/2^n)a) = f(x) + (p/2^n)(f(x+a) - f(x)) pout tout p entier dans [0,2^n] et tout n >=0
C'est évident pour n=0
Si c'est vrai au rang n, c'est automatiquement vrai au rang n+1 pour les p pairs.
Pour les p impairs, il suffit d'appliquer la relation fonctionnelle avec les deux valeurs x+(p/2^n)a et x+((p+1)/2^n)a

2) par continuité, on en déduit f(x+z*a)=f(x)+z(f(x+a)-f(x)) pour tout z dans [0,1]. Donc f est dérivable en x (faire (f(x+za)-f(x))/(za) avec z tendant vers 0) et f est confondue avec sa tangente

==> f(x) = ax+b

--
Patrick

bravo patric:cheers:
mais il ya d'autre methodes

g(x)=f(x)-f(0) , verifie facilement que g((x+y)/2)=g(x)/2+g(y)/2 , , or g(X+Y)=g(X)+g(Y) => g(X)=aX avec a=g(1) (tu peux la demontrer si tu veux )

Sinchy a écrit:

g(x)=f(x)-f(0) , verifie facilement que g((x+y)/2)=g(x)/2+g(y)/2 , , or g(X+Y)=g(X)+g(Y) => g(X)=aX avec a=g(1) (tu peux la demontrer si tu veux )

Ah oui, bien sûr. beaucoup plus rapide que ma démonstration.

Attention, pour dire que g(X+Y)=g(X)+g(Y), il faut d'abord constater que g(0)=0, puis que g(x/2)=g(x)/2 et donc que g(x/2 + y/2)=g(x)/2+g(y)/2 = g(x/2) + g(y/2) et donc g(x+y)=g(x)+g(y).

Là, on retrouve l'équation ditre de Cauchy qui prend comme seul résultat continu g(x)=ax, et donc f(x)=ax+b.

Bravo Sinchy!

--
Patrick

merci , bien sur ,aussi la continuite de g