Cet exercice est très joli : d'abord le truc avec nilpotentes est évident. D'une part les polynômes caractéristiques sont continus des coefficients de la matrice, donc on a une implication. Pour l'autre on utilise le lemme suivant (soin du lecteur): l'adhérence de la classe de similitude contient une matrice diagonale (trigonaliser A dans M_n(R), possible car polynôme caractéristique scindé et après multiplier par diag(1,x,...,x^n) et par son inverse et choisir x petit)). A partir de ça il est clair qu'une semi-norme (qui est continue) qui est invariante par similitude s'annule sur les matrices nilpotentes (en particulier, elle ne peut pas être une norme). Cela signifie qu'elle s'annule aussi sur l'espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes (par sous-additivité), qui est l'ensemble des matrices de trace 0 (on montre pour cela que toute matrice de trace nulle est semblable a une matrice de diagonale 0 et le resultat devient évident apres). Donc notre semi-norme s'annule sur les matrices de trace 0. Prendre A une matrice et écrire A=(tr(A)/n)I_n+X avec X de trace nulle. En écrivant (tr(A)/n)I_n=A-X et en passant au semi-norme (dans les 2 relations), on trouve N(A)=k |TrA| avec k constant. La réciproque est évidente.
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