inégalité simple

pour bien la voir :

otman4u a écrit:

remarquez que a²+b²+c²>=3 et a+b+c >= 3

neutrino a écrit:

otman4u a écrit:

remarquez que a²+b²+c²>=3 et a+b+c >= 3

1- d'ou ta eu ces inégalité?
2- je pense que ca aide a rien : si non fais l'exercice avec ces remarque

otman4u a écrit:

neutrino a écrit:

otman4u a écrit:

remarquez que a²+b²+c²>=3 et a+b+c >= 3

1- d'ou ta eu ces inégalité?
2- je pense que ca aide a rien : si non fais l'exercice avec ces remarque

(a+b+c)²= a²+b²+c²+6 et on a : a²+b²+c²>=ab+ac+bc=3 donc (a+b+c)²>=9

essaye alors de terminer l'exo

Conan a écrit:

pour bien la voir :

a^3+b^3+c^3 >= [ab(a+b) + ac(a+c) + (bc(b+c) ] / 2 >= (a²b+ab²)/2 + (a²c+ac²)/2 + (b²c+c²b)/2

et o n a: 9<= (a+b+c)² <= 3(a²+b²+c²)

et ona : 6abc >= 2(a+b+c)(abc) >= 2(a²bc + b²ac + c²ab)

donc on doit prouver que

(a²b+ab²)/2 + (a²c+ac²)/2 + (b²c+c²b)/2 + 2(a²bc + b²ac + c²ab) >=3(a²+b²+c²)

On a: a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a²+b²+c²)-[a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)]
et on a: a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)>=6abc
En remplaçant: l'inégalité devient:
(a+b+c)(a²+b²+c²)>=9
on a: (a+b+c)²>=3(ab+ac+bc)=9
donc a+b+c>=3
D'autre part
a²+b²+c²>=ab+ac+bc=3
ainsi (a+b+c)(a²+b²+c²)>=9

on a :

2 (a^3+b^3+c^3) >= ab(a+b) + bc(b+c) + ac(a+c)
>= a²(b+c) + b²(a+c) + c²(a+b)
donc
2 (a^3+b^3+c^3) + 12abc >= a(a(b+c)+4bc) + b(b(a+c)+4ac)+c(c(a+b)+4ab)

<=> 2 (a^3+b^3+c^3) + 12abc >= 3a(1+bc) + 3b(1+ac) + 3c(1+ab)

conan, révises ta solution, c'est à toi de trouver ta faute !!

adam a écrit:

conan, révises ta solution, c'est à toi de trouver ta faute !!

dsl

codex00 a écrit:

On a: a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a²+b²+c²)-[a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)]
et on a: a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)>=6abc
En remplaçant: l'inégalité devient:
(a+b+c)(a²+b²+c²)>=9
on a: (a+b+c)²>=3(ab+ac+bc)=9
donc a+b+c>=3
D'autre part
a²+b²+c²>=ab+ac+bc=3
ainsi (a+b+c)(a²+b²+c²)>=9

veux tu expliquer cette partie en rouge

On a: a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a²+b²+c²)-[a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)]
et a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)>=6abc
donc :
a^3+b^3+c^3>=(a+b+c)(a²+b²+c²)-6abc
donc a^3+b^3+c^3+6abc>=(a+b+c)(a²+b²+c²)

codex00 a écrit:

On a: a^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a²+b²+c²)-[a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)]
et a(b²+c²)+b(a²+c²)+c(a²+b²)>=6abc
donc :
a^3+b^3+c^3>=(a+b+c)(a²+b²+c²)-6abc
donc a^3+b^3+c^3+6abc>=(a+b+c)(a²+b²+c²)

dsl, mais c'est faux, avec le moins ça devient <
et merci !!

d'aprés l'inégalité de shur (le clé de l'exercice)
a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b)>=0
a^3+b^3+c^3+3abc>=a²c+a²b+b²a+b²c+c²a+c²b
a^3+b^3+c^3+6abc>=a²c+a²b+b²a+b²c+c²a+c²b+abc+abc+abc
a^3+b^3+c^3+6abc>=(a+b+c)(ab+ac+bc)=3(a+b+c)
et on a (a+b+c)>=3
d'ou le résultat
il existe d'autre methode mais je pense avec l'utilisation de shur

c'est quoi deja l'inegalite de shur?

a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b)>=0
a b c réél positive et k un réél quelconque

d'acord merci. mais t'es sur que k appartient a R?

wiles a écrit:

d'acord merci. mais t'es sur que k appartient a R?

tout a fait sur

merci

derien