inégalité triviale mais complexe

J'ai fait une Grosse erreur
Pardon

remarquez que
si on multiplis linégalité par (a+b)(b+c)(a+c)
on trouve que (a^3+b^3)(c^3+b^3)(a^3+c^3)=<12(a+b)(b+c)(a+c)
alors on résoudre

ali 20/20 a écrit:

remarquez que
si on multiplis linégalité par (a+b)(b+c)(a+c)
on trouve que (a^3+b^3)(c^3+b^3)(a^3+c^3)=<12(a+b)(b+c)(a+c)
alors on résoudre

et aprés?

Vu la symetrie on peut supposer que a>=b>=c>=0.
On a alors (a^2-ac+c^2)<=a^2 & (b^2-bc+c^2)<=b^2
==> (a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+c^2)<=(a^2-ab+b^2)a^2b^2=((a+b)^2-3ab)a^2b^2<=(9-3ab)a^2b^2=3(3-ab)a^2b^2.
Considerant f(x)=(3-x)x^2 on a f'(x)=3x(2-x) son max sur l'intervalle [0,9[ est atteint en x=2.
==>(a^2-ab+b^2)(b^2-bc+c^2)(c^2-ac+c^2)<=3f(2)=12
Egalité atteinte si a=2,b=1 & c=0.

appelons S le coté gauche de l inegalité :
on a par AM-GM :



donc il suffit de montrer que (3-(ab+ac+bc))^3 =< 8

ou :  3-(ab+ac+bc) =< 2     (notons que ab+ac+bc =< 3)

<==>  ab+ac+bc >= 1   ce qui est trivial  

memath a écrit:

appelons S le coté gauche de l inegalité :
on a par AM-GM :




 

Tu es sur qu'ils sont égales?.

desolé faute de frappe . c est corrigé