inégalité entre coefficients et zéros d'un polynôme complexe

Soient z_1,...,z_n les zéros du polynôme z^n+a_(n-1)z^(n-1)+...+a_0.
Montrer que (|z_1|²+...+|z_n|²)/n =< 1+Max(|a_0|²,...,|a_n|²)

Hmm... je sais que |z_i| <= 1 + max(|a_0|+...+|a_n|), mais c'est un peu trop faible.

EDIT : bon, peut-être que c'est vrai en général (avec n'importe quoi à la place du "2") :
(|z_1|^s + ... + |z_n|^s)/n <= 1+Max(|a_0|^s, ..., |a_{n-1}|^s) pour tout s>=0.
EDIT2 : bah, ceci impliquerait quelque chose de trop fort pour s->oo.

Mais de toute façon, je me souviens que |z_1|^2 + ... + |z_n|^2 <= (n-1) + |a_0|^2 + ... + |a_{n-1}|^2. Un de mes amis avait démontré ceci il y a quelques temps :

considérons la matrice de Frobenius correspondant à (a_0,...,a_{n-1}) (des 1 à gauche de la diagonale principale, la colonne de droite est (a_0,...,a_{n-1}) et des 0 partout ailleurs); son polynôme caractéristique est x^n+a_{n+1}x^(n-1)+...+a_0 (ou peut-être que certains signes doivent être changés; ça n'a pas d'importance...). Maintenant, il suffit de prouver que |z_1|^2 + ... + |z_n|^2 <= \sum |a_{ij}|^2 pour toute matrice (a_{ij}) de valeurs propres z_1,...,z_n.