Complexe et polynôme

Bonjour,
Je bloque sur cet exercice

Soit z un nombre complexe et P(z) = z³+az²+bz+c où a,b et c des nombres complexes. Soit z₁,z₂ et z₃ les racines de l'équation P(z) = 0

Montrer que a = -(z₁+z₂+z₃) ; b = z₁z₂ + z₁z₃ + z₂z₃ ; c = -z₁z₂z₃

salam:

p(z1)=0 =>z1^3+az1^2+bz1+c=0 (1)
p(z2)=0 =>z2^3+az2^2+bz2+c=0 (2)
p(z3)=0 =>z3^3+az3^2+bz3+c=0 (3)

ce système est linéaire par rapport aux inconnus a , b et c.

a résoudre

Vous pouvez m'aider encore un peu à la résolution ?

salam:

c'est beaucoup de calcules:

(1)-(2) pour éliminer c ==>b=-a(z1+z2)-(z1^2+z1z2+z2^2)

remplace b dans (1) par exemple ==>c=z1z2(a+z1+z2)

remplace b et c dans (3) ==>a =-(z1+z2+z3) et tu remplace a dans c=z1z2(a+z1+z2)

==> c=z1z2(a+z1+z2)=z1z2(-z1-z2-z3+z1+z2)=-z1z2z3

==>b=-a(z1+z2)-(z1^2+z1z2+z2^2)=(z1+z2+z3)(z1+z2)-(z1^2+z1z2+z2^2)=z1z2+z2z3+z1z3

Canon a écrit:

Bonjour,
Je bloque sur cet exercice

Soit z un nombre complexe et P(z) = z³+az²+bz+c où a,b et c des nombres complexes. Soit z₁,z₂ et z₃ les racines de l'équation P(z) = 0

Montrer que a = -(z₁+z₂+z₃) ; b = z₁z₂ + z₁z₃ + z₂z₃ ; c = -z₁z₂z₃

BSR à Toutes et Tous .

Si je peux me permettre ....
Puisqu'on connait les 3 racines de P(z) et que le coefficient de z^3 est 1 alors on sait que P(z) s'écrit sous la forme (z-z1).(z-z2).(z-z3)
Il suffira alors d'effectuer explicitement le produit (z-a1).(z-z2).(z-z3)
puis d'identifier avec l'autre expression de P(z) à savoir z^3 +az^2+bz+c
pour trouver les expressions de a,b et c en fonction de z1,z2 et z3.

Mes Salutations

Lotus_Bleu

Merci

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mercii je pense donc ,je suis