Bonjour à tous,
Joli problème! L'équation à résoudre est donc f(x)-f(y)=(x-y)f'(ax+(1-a)y)
En échangeant x et y, nous avons f(y)-f(x)=(y-x)f'(ay+(1-a)x), et donc :
(x-y)f'(ax+(1-a)y) = -(y-x)f'(ay+(1-a)x) et donc :
f'(ax+(1-a)y) = f'(ay+(1-a)x) pour tous x et y (on divise par x-y si x est différent de y et c'est évidemment vrai aussi si x=y)
1) Si a est différent de 1/2, on peut toujours (quels que soient u et v) trouver x et y tels que :
u = ax+(1-a)y
v = ay+(1-a)x
et donc f'(u)=f'(v) et donc f'(x)=c constante, et donc f(x)=cx+d
Il est alors facile de vérifier que cette condition, nécessaire, est suffisante.
2) si a=1/2, l'équation est f(x)-f(y)=(x-y)f'((x+y)/2) et j'ai une solution un peu plus compliquée :
2.1) l'espace des solutions est un R-espace vectoriel
2.2) il est de dimension < 4 :
Supposons en effet 4 fonctions solutions indépendantes. Il est possible de trouver une combinaison linéaire g(x) non nulle de ces fonctions qui s'annule en au moins 3 points, et donc dont la dérivée s'annule en au moins deux points a et b distinct. Dès lors :
g(x)-g(2a-x)=(x-(2a-x))g'(a)=0
g(2a-x)-g(2b-2a+x)=(2a-x-(2b-2a+x))g'(b)=0
Donc g(x) = g(x+2b-2a) et g est périodique. Mais alors :
0 = g(x+2b-2a)-g(x) = (2b-2a) g'(x+b-a) et donc g'(x+b-a)=0, donc g est constante, donc identiquemengt nulle (puisque s'annule en trois points).
CQFD
2.3) 1, x et x^2 sont solutions, donc l'espace vectoriel est de dimension 3 et 1, x, x^2 en est une base
Synthèse :
Si a est différent de 1/2, la solution générale est f(x)=cx+d
si a = 1/2, la solution générale est f(x)=cx^2+dx+e
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