trouver f

Déterminez toutes les applications f de l'ensemble IR+, ensemble des réels positifs ou nuls, dans lui-même, vérifiant les trois propriétés suivantes:
i. Pour tous x et y de IR+, f(xf(y)).f(y) = f(x+y) ,
ii. f(2)=0 ,
iii. Pour tout x dans [0 , 2 [ , f(x) est différent de 0.

callo a écrit:

Déterminez toutes les applications f de l'ensemble IR+, ensemble des réels positifs ou nuls, dans lui-même, vérifiant les trois propriétés suivantes:
i. Pour tous x et y de IR+, f(xf(y)).f(y) = f(x+y) ,
ii. f(2)=0 ,
iii. Pour tout x dans [0 , 2 [ , f(x) est différent de 0.

Ahhh, très joli problème, merci !

En faisant y=2 dans l'équation initiale, on a f(x+2)=0 et donc f(x)=0 pour tout x >=2.

Prenons y<2, donc f(y) non nul, et x=2/f(y). On a alors f(x+y)=0 et donc x+y>=2. Donc y+2/f(y)>=2 et f(y)<=2/(2-y) pour tout y<2.

Prenons y<2, donc f(y) non nul, et x=a/f(y), avec a<2. On a alors f(xf(y))=f(a)>0 et f(y)>0, donc f(x+y)>0 et x+y<2. Donc y+a/f(y)<2 et f(y)>a/(2-y) pour tout y<2 et a<2.

Et donc f(x)=2/(2-x) pour tout x<2 et f(x)=0 pour tout x>=2.

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Patrick

c ce que g trouvé apres des heures de réflexion .
tbien :d
a+