trouver les n

trouver tous les entiers n tq le nombre 4^n+2^n+1 est divisible par 7

c facile mon amis
on va utuliser mod 6 car on peut voir que 2^6=1(mod7)et 4^3=1(mod7)
si n=6q:4^n+2^n+1=3(mod7)
si n=6q+1:4^n+2^n+1=0(mod7)
si n=6q+2:4^n+2^n+1=0(mod7)
si n=6q+3:4^n+2^n+1=3(mod7)
si n=6q+4:4^n+2^n+1=0(mod7)
si n=6q+5:4^n+2^n+1=0(mod7)
d'ou les solution sont {6q+k/(k,q)£{1,2,4,5}*IN}

ouèps tè 1 chef maintenant un second
montrer que (3+V5)^n+(3-V5)^n est divisible par 2^n pour tout n entier naturel
V designe la racine carrée

Virus a écrit:

ouèps tè 1 chef maintenant un second
montrer que (3+V5)^n+(3-V5)^n est divisible par 2^n pour tout n entier naturel
V designe la racine carrée

réccurence double
pour n=1 et n=2 evident

on suppose la relation vraie pour n et n+1démontrons quelle est vraie pour n+2 et n+3

on a 2^(n+1) l (3+V5)^(n+1)+(3-V5)^(n+1) =>2^(n+2) l ((3+V5)^(n+1)+(3-V5)^(n+1))(3+V5)+(3-V5))
=>2^(n+2) l (3+V5)^(n+2)+(3-V5)^(n+2)+(3-V5)(3+V5)^(n+1)+(3-V5)^(n+1)(3+V5)
=>2^(n+2) l (3+V5)^(n+2)+(3-V5)^(n+2)+(9-5)(3+V5)^(n)+(9-5)(3-V5)^n (*)
et comme 2^(n) l (3+V5)^(n)+(3-V5)^(n)
alors 2^(n+2) l 4((3+V5)^(n)+(3-V5)^(n)) (**)
dapres (*) et (**) on trouve 2^(n+2) l (3+V5)^(n+2)+(3-V5)^(n+2)

meme démo pour n+3

donc pour tout n de IN
(3+V5)^n+(3-V5)^n est divisible par 2^n

Virus a écrit:

ouèps tè 1 chef maintenant un second
montrer que a_n=(3+V5)^n+(3-V5)^n est divisible par 2^n pour tout n entier naturel
V designe la racine carrée

remarquer que v_n=(a_n)/2^n verifie l'equation lineaire :
v_(n+2)-3v_(n+1)+v_n=0
v_0=2,v1=3
les deux premier termes sont des entiers .==> tt les termes de (vn) sont des entiers d'ou (a_n)/2^n est entier.

c le meme truc que j fait mais j t oubliger d'utiliser le cour du programe precedent