Problème de MARS 2006: une suite recurrente

Soit une suite donnée de réels >0. Etudier la suite définie par la donnée de , et la récurrence .

salut!

je ne vois pas la suite.

abdelbaki.attioui a écrit:

Soit une suite donnée de réels >0. Etudier la suite définie par la donnée de , et la récurrence .

voici l'exo
(a_n)_n une suite données de réels > 0 et U_n une suite définie avec U_o > 0 et
U{n+1}=racine[U_{n}+racine(a_n)]
etudier la suite U_{n}
je crois que c'est clair !!!

Oui c'est très clair. Merci

je vai commencer à creuser.

puisque y a ps de lien pour poster ma la solution je vais le faire ici
je suis ps sur de ce que je v ecrir
voila: on pose bn²=an pour simplifier le probleme
on a U(n+1)²-Un=bn
si bn diverge alors U(n+1)²-Un diverge d ou Un diverge
supposons donc que bn est convergente ( vers une limite l ) , alors elle est bornée, posons m sa borne superieure
on pose : M=max(U0;m;2)
on montre par recurrence que Un<=M
pour n=0 c clair !
supposons que c vrai jusqu a l ordre n
on a U(n+1)<=racine(M+m)<=racine(2M)<=M
on tire que la suite Un est bornée !
soit c0 une valeur d adherence de Un associé a une suite phi(n)
U(phi(n)+1) converge vers racine(c0+l) =c1
U(phi(n)+k) converge vers racine(c(k-1)+l)=ck
ainsi on a construit une suite de valeur d adherence
soit t la racine de l equation x²-x-l =0
si c0< t alors c1<c0<t et par recurrence c(n)<c(n-1) comme cn est bornée alors elle converge vers la solution de l equation x²-x-l=0 absurde
de meme si c0>t on trouve une absurdité
il reste le cas ou c0=t dans ce cas c(n)=t
de cette façon on prouve que la seule valeur d adherence de Un est t par suite la suite Un est convergente vers la racine positive de l equation x²-x-l=0 ou l est la limite de racine(an)

C'est pas un problème interessant ca...

Abelbaki que penses-tu de la solution de bel_jad ? Merci de répondre.

ok! j'avais pas vu le post de Samir, donc félicitations Bel_jad

puisque on a nommé bel_jad5 comme champion du mois cela veux dire que sa réponse est bonne