un petit exercice

bonjour les matheux je vous propose l'exercice suivant

on a un élèment x appartient à R
1) montrer que :

salut salma1990
cet exo est deja posté
https://mathsmaroc.jeun.fr/Groupe-etudiants-du-T-S-M-f28/partie-entiere-t4579.htm?highlight

f(x)= [2x]-[x]-[x+1/2]
f est périodique de periode 1/2, f(x+1/2)=f(x) pour tout x de IR
et pour tout x de [0,1/2[ on a : f(x)=o donc f est la fonction nulle sur IR ...

j'ai rien compris c quoi ca

salma1990 a écrit:

j'ai rien compris c quoi ca

MR aissa a bien remarqé que la fonction f(x)= [2x]-[x]-[x+1/2]
et periodique ( دالة دورية) de periode 1/2 C.A.D on a toujours f(x+1/2)=f(x) pour tout x de IR et c clair coment le faire:
on a f(x+1/2)= [2(x+1/2)]-[x+1/2]-[x+1/2+1/2]=[2x+1]-[x+1/2]-[x+1]=
[2x]+1-[x]-1-[x+1/2]=f(x) alors il suffit d'étudié cette fonction dans un intervalle de cette forme [a,a+1/2[ (a entier) et MR aissa a choisis a=0 d'ou il a conclus que pour tout x € [0,1/2[ on a : f(x)=o alors la fonction f et nulle d'ou f(x)=[2x]-[x]-[x+1/2]=0 <==>
j'éspére que tu as compris mnt

mrc M.ALAOUI.OMAR de votre explication mais je n'ai pas encore étudier cette leçon moi j'ai trouvé la solution avec une autre méthode (fasl halat)

oui salma fasl lhalat aussi
1) cas :n=<x=<n+1/2 ....
2)cas: n+1/2=<x=< n+1....

je vous donne la réponse
supposant que:[x]=n
on a x=n+r tel que: 0=< r <1
donc : x+1/2 = n+r+1/2
on a aussi n appartient à Z alors [x+1/2]=n+[r+1/2]
2x=2n+2r alors 2n appartient à Z donc [2x]=2n+[2r]
donc: [2x]-[x+1/2]=n+[2r]-[r+1/2]
=[x]+[2r]-[r+1/2]
on a 0=<r<1 donc 1/2=<r+1/2<3/2

bravo c juste