- kalm a écrit:
- trouver tout les nombres a,b,c tel que a!b!=a!+b!+c!
Supposons sans perte de généralité a <=b.
1) a=0 ou a=1 ==> a!=1 ==> c!=0 ==> pas de solution.
2) a=2 ==> 2b!=2+b!+c! ==> b!=c!+2 ==> b>c ==> c divise 2 ==>
2.1) a=2 et c=1 ==> b!=3 ==> pas de solution
2.2) a=2 et c=2 ==> b!=4 ==> pas de solution
3) b>=a>2 ==> c!=b!(a!-1)-a!>4b!-b!>b! ==> c>b. Alors :
b!=1 + b!/a! + c!/a!.
Si c>b>a, b divise b!, b!/a! et c!/a!. Donc b divise 1. Donc b=1 : impossible
Donc c>b=a et on a : a!=2+c!/a!
Si c>=a+3, 3 divise a! et c!/a!, ce qui est impossible. Donc 2 cas seulement :
3.1) c=a+1 et l'équation est a!=2+a+1=a+3 ==> a divise 3 ==> a=3
3.2) c=a+2 et l'équation est a!=2+(a+1)(a+2)=a^2+3a+4 ==> a divise 4 ==> a=3 ou 4 ==> impossible.
Donc une seule solution : a=b=3 et c=4 : 3!3!=3!+3!+4!
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Patrick
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