Inégalité 11

Montrer que, quel que soit x > 0, on a :
.

Pour celui qui est intéressé par une jolie preuve de cette inégalité, voici un premier indice :
.

cet inégalité n'est pas interessante

A priori non, mais en fait, elle aide à résoudre une inégalité qui est, elle, intéressante..
Heh... c'est vrai que j'aurais d'abord dû poster l'inégalité de départ... :?

Donc, la voilà :

Soient x, y et z trois réels positifs tels que xyz = 1.
Montrer que :






Voilà, si vous arrivez à trouver une preuve sans passer par l'inégalité "non-intéressante", je suis preneur!

2(x²+y²+z²)-2(xy+xz+yz)=(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²
2(x²+y²+z²)+30(xy+xz+yz)-32(x+y+z)=
32(xy+xz+yz)-32(x+y+z)+(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²

abdelbaki.attioui a écrit:

2(x²+y²+z²)+30(xy+xz+yz)-32(x+y+z)=
32(xy+xz+yz)-32(x+y+z)+(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²

Je pense que cela ne donne rien...

Comparer (xy+xz+yz) et (x+y+z) sachant que xyz=1

OK.
xy+yz+zx >= x+y+z <==> xy+yz+zx >= (x+y+z)*(xyz)^(1/3).
On pose : x=a^3, y=b^3 et z=c^3.
D'où, xy+yz+zx >= (x+y+z)*(xyz)^(1/3) <==> a^3b^3+a^3c^3+b^3c^3 >= a^4bc+b^4ac+c^4ab. Ceci est faux.