Suite harmonique

Demontrer par 3methodes la divergence de la suite harmonique (Hn)

( Hn=la somme des 1/k de 1 jusqua n)

H(n) = 1 + 1/2 + ... + 1/n

1) le grand classique : H(2n) - H(n) > 1/2

2) si H(n) -> l < +oo
alors H(2n) = H'(n) + 1/2 H(n)
avec H'(n) = 1 + 1/3 + ... + 1/(2n-1) -> l2
Mais alors l2 > l/2 incomptible avec l = l2 + l/2

3) 1/x est C° monotone décroissante donc H(n) ~ int dt/t = ln(n)

Encore une tiens.

x >= log(1+x) donc 1/n >= log(n+1) - log(n) et H(n) >= log(n+1) -> +oo

une autre : on peut montrer par un contre exemple que la suite harmonique n'est pas une suite de cauchy ==> elle diverge

Mahdi a écrit:

une autre : on peut montrer par un contre exemple que la suite harmonique n'est pas une suite de cauchy ==> elle diverge

BSR Mahdi !!!
Je crois que ThSQ l'a dit !!
<< 1) le grand classique : H(2n) - H(n) > 1/2 >>
A+ LHASSANE

une autre methode : avec les integrales

slt tt le monde,soit k>=1 et t£[k,k+1]
on a k<=t<=k+1 donc 1/k+1<=1/t<=1/k
en passant par l'integral on aura:
1/(k+1)<=ln(k+1/k)<=1/k
ainsi on a qqsoit k>=2
ln(k+1/k)<=1/k<=ln(k/k-1)
donc ln(k+1)-ln(k)<=1/k<=ln(k)-ln(k-1)
donc sigma(k=1..n){ln(k+1)-ln(k)}<=H_n<=sigma(k=1..n){ln(k)-ln(k-1)}
(remarque:suite telescopique)
ainsi ln(n+1)<=H_n
par passage à la limite on aura H_n-->+00
c'est à dire H_n diverge
@+

H_n=1/2 somme de 1 a n de (1/k/n) poser x=k/n et rappellez vous de ce qu'on a deja vu en terminal ...

Mahdi a écrit:

H_n=1/2 somme de 1 a n de (1/k/n) poser x=k/n et rappellez vous de ce qu'on a deja vu en terminal ...

BJR Mahdi !!!
Si je crois deviner ce que tu dis là , il y aurait d'une part une erreur d'écriture :
<< H_n=1/ n somme de 1 a n de (1/k/n) poser x=k/n et ..... >>
d'autre part , il semble que tu veuilles considérer une Somme De DARBOUX-RIEMANN correspondante à la fonction f : x---->f(x)=1/x
mais alors sur quel intervalle [a;b] inclus dans IR*+?????
Je doute fort que cela soit réalisable !!!!
A+ LHASSANE

salut,Mahdi et LHassan est ce que ça signifie que ma méthode est fausse!!!!!!!!!!!!!!!

Ta méthode est JUSTE magus !!!
A+ LHASSANE

merci, LHASSAN, @+

Oeil_de_Lynx a écrit:

Mahdi a écrit:

H_n=1/2 somme de 1 a n de (1/k/n) poser x=k/n et rappellez vous de ce qu'on a deja vu en terminal ...

BJR Mahdi !!!
Si je crois deviner ce que tu dis là , il y aurait d'une part une erreur d'écriture :
<< H_n=1/ n somme de 1 a n de (1/k/n) poser x=k/n et ..... >>
d'autre part , il semble que tu veuilles considérer une Somme De DARBOUX-RIEMANN correspondante à la fonction f : x---->f(x)=1/x
mais alors sur quel intervalle [a;b] inclus dans IR*+?????
Je doute fort que cela soit réalisable !!!!
A+ LHASSANE

Oui c'est ca je voulais considerer une somme de RIEMANN

BJR Mahdi !!
C'est un peu gênant pour plusieurs raisons !!
1) Cela se ferait sur [0;1] et sur cet intervalle la fonction f
x------> f(x)=1/x présente une GRAVE singularité en 0 !!!
2) L'intégrale INT{x=0.....1 ; f} est impropre divergente .
A+ LHASSANE

ou encore en utilisant la suite extraite U(2^n)...