suites qui tend vers 0

Montrer que

U_n=x^n/n!

U_(n+1)/U_n=x/(n+1) < x/(x+1)=k qqs n>= E[x]+2=n_0-1

==> U_n<kU_(n-1)<k²U_(n-2)<...<k^(n-n_0)U_n0=M.k^n
==> U_n -->0 car k^n--->0

abdelilah a écrit:

Montrer que

soit n£IN tel que n>=[x]+1 (avec [...] désigne la partie entiere)
démontrons que n!>=([x]+1)^(n-[x]+2)
pour n=[x]+1 facile
supposons que la relation est vraie pour n et démontrons quelle est vraie pour n+1 ; (n+1)!=(n+1)n!>=([x]+1)^((n+1)-[x]+2)
récurrence achevée ;
ainsi on trouve
x^n=exp(nln(x)) =>x^n/n!=exp(nln(x)-ln(n!))=<exp(nln(x)-(n-[x]+2)ln([x]+1))
=> x^n/n!=<exp(n(ln(x)-ln([x]+1))+([x]-2)(ln([x]+1))

on a pour tout x>0 x<[x]+1 => lnx-ln([x]+1)<0
=> lim(n->+00)n(ln(x)-ln([x]+1)=-00
=> lim(n->+00)exp(n(ln(x)-ln([x]+1))+([x]-2)(ln([x]+1))=0


on a lim(n->+00)exp(n(ln(x)-ln([x]+1))+([x]-2)(ln([x]+1))=0 et x^n/n!=<exp(n(ln(x)-ln([x]+1))+([x]-2)(ln([x]+1))
donc lim(n->+00)x^n/n!=0