Olym:

Bonjour tout le monde

salam,voici la solution:

on demontre dans une premiere etape que a^2+b^2>=1/2(a+b)^2 et ensuite on appliquant l'inegalite on trouve:

a^4+b^4>=1/2(a^2+b^2)^2 et aussi a^2+b^2>=1/2(a+b)^2 et on a a+b=2 donc a^2+b^2>=2 et par ca (a^2+b^2)^2>=4 alors 1/2(a^2+b^2)^2>=2 donc a^4+b^4>=1/2(a^2+b^2)^2 on a 1/2(a^2+b^2)^2>=2 donc a^4+b^4>=2

C'est ça.

merci,avez vous des exo olympiades

Une autre méthode :
On peut supposer que a >= b
=> a >= 1 et b <= 1

S = a^4 + b^4 - a - b = a(a^3 - 1) + b(b^3 - 1) = a(a-1)(a²+a+1) + b(b-1)(b²+b+1)
a+b=2 => b-1=1-a
=> S= (a-1)[ a(a²+a+1) - b(b²+b+1)]
= (a-1)(a^3+a²+a-b^3-b²-b)
= (a-1)[ (a-b)(b²+ab+a²) +(a-b)(a+b) +a-b] >=0
On conclut.

Bien joué