problème N°31 de la semaine (29/05/2006-04/06/2006 )

salut
chaque participant doit poster sa solution par E-MAIL

amateursmaths@yahoo.fr
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puis il poste le message suivant ici "solution postée"
pour plus d'information voir les conditions de participation
Merci

Incompréhensible problème

Moi aussi jnai pas compri

j'ai reformulé la question
a vous de jouer

Pour ceux qui n'auraient toujours pas compris, (il manque le mot "soit" Samir! ) il faut résoudre l'équation :
y² = 1 + x + x² + x^3 + x^4.
(avec la condition supplémentaire que x soit un nombre premier)

oui
merci mathman

Solution Postée:
voici la solution de Mahmoud
On remarque que pour x different de 0 on a lencadrement :
(x^2+x/2)^2<1+x+x^2+x^3+x^4<(x^2+x/2+1)^2
pour que x soit premier premierment il faut qu'il soit impair ,sauf le 2 qui ne verifie pas les condition
Si x est impair, le seul entier compris entre : (x^2+x/2)^2 et (x^2+x/2+1)^2 est (x^2+x/2+1/2)^2
et donc on doit forcement avoir :1+x+x^2+x^3+x^4 = (x^2+x/2+1/2)^2

ce qui conduit `a x2 − 2x − 3 = 0 qui admet pour solution x = 1 et x = −3.
Finalement les solutions sont x = 0, x = 1 et x = −3.donc l'intersection d'ensemble des nombres premiers et les solutions de l'equation est........

Bonjour
solution postée
voici la solution d'abdelbaki.attioui


soit x premier > 3 solution de x^4+x^3+x²+1=y²,
(2x²+x+1)²=4x^4+x²+1+2(2x^3+2x²+x)
(2x²+x+1)²=4x^4+4x^3+5x²+2x+1=4y²+x²-2x-3
(2x²+x+1)²=4y²+(x-3)(x+1)
==> 2x²+x+1>2y (1)

Mais, (2x²+x)²=4x^4+4x^3+x²=4y²-3x²-4x-4
==> 4y²=(2x²+x)²+3x²+4x+4 > (2x²+x)²
==> 2y>2x²+x (2)

(1) et (2) ==> y n'est pas un entier.

Donc x=<3.

x=2 n'est pas solution car 31 n'est pas un carré parfait .

pour x=3, on a : 3^5-1=242=2y² avec y=11.

Finalement, 3 est le seul premier tel que
x^4+x^3+x²+1=11² est un carré parfait

A+

Solution postée
voici la solution d'elhor abdelali
Bonjour;
On supposera dans un premier temps que x est positif.
Le cas x=2 donne A=31 qui n'est pas carré parfait on peut alors supposer x>2 et du coup x est impair.

Condition nécéssaire:
Avec A=n² on doit avoir n²-1=x(x+1)(x²+1) ce qui nécéssite n impair en posant alors n=2m+1 on doit avoir m(m+1)= ((x+1)/2)x((x²+1)/2) et on voit alors vu que
(x(x-1)/2)²<((x+1)/2)x((x²+1)/2)< (x(x+1)/2)² et que m²<m(m+1)<(m+1)² que
m<x(x+1)/2 et m+1>x(x-1)/2 ce qui s'écrit aussi (vu qu'on manipule des entiers):
x(x-1)/2<(ou=)m<x(x+1)/2 et x(x-1)/2<m+1<(=)x(x+1)/2
comme x est supposé premier il divise soit m soit m+1
-si x divisait m on aurait m=kx avec (x-1)/2<(=)k<(x+1)/2=x(x-1)/2+1 et donc k=(x-1)/2 ce qui conduirait à une absurdité.
-on voit ainsi que x doit diviser m+1 en posant m+1=kx on voit que k=(x+1)/2
ce qui conduit à x=3
Condition suffisante:
Avec x=3 on a A=121=11²
Supposons maintenant x<0
Le cas x = -2 donne A=11 qui n'est pas carré parfait on peut alors supposer x<-2 et du coup x est impair.
Condition nécéssaire:
en posant y = -x et A=n² on se raméne à n²-1=y(y-1)(y²+1) et en posant n=2m+1 on aboutit à : m(m+1)=((y-1)/2)y((y²+1)/2) et on voit de même que
(y(y-1)/2)² < ((y+1)/2)y((y²+1)/2) < (y(y+1)/2)² et donc que
y(y-1)/2<(ou=)m<y(y+1)/2 et y(y-1)/2<m+1<(=)y(y+1)/2
y étant premier il divise soit m soit m+1
-si m=ky on voit que k=(y-1)/2 ce qui conduit à une absurdité.
-si m+1=ky on a k=(y+1)/2 ce qui conduit aussi à une absurdité.

Conclusion:
L'unique nombre premier x tel que l'entier 1+x+x²+x^3+x^4 soit carré parfait est 3.
Sauf erreur...

Salam,

Solution postée
voici la solution de GooooD
Posons A=y²
On a donc (après factorisation) :
(y-1)(y+1)=x(x+1)(x²+1)
Comme y et x sont impairs, notons x=2k+1et y=2k'+1 ce qui nous donne :
k'(k'+1)=(k+1)(2k+1)(2k²+2k+1)
Ce qui nous renvoit aux systèmes suivants (k'+1>k') :
a) k+1=k' et (2k+1)(2k²+2k+1)=k'+1 => k(4k²+6k+3)=1, absurde.
b) 2k+1=k' et (k+1)(2k²+2k+1)=k'+1 => k(2k²+4k+1)=1, de même.
c) (2k²+2k+1)=k² et (k+1)(2k+1)=k'+1 => k=1.
Il y a donc une seule solution à ce problème : x=3.

Encore merci et à bientôt !

--
Sir Ahmed. --

G0000D a écrit:

Salam,

Solution postée
voici la solution de GooooD
Posons A=y²
On a donc (après factorisation) :
(y-1)(y+1)=x(x+1)(x²+1)
Comme y et x sont impairs, notons x=2k+1et y=2k'+1 ce qui nous donne :
k'(k'+1)=(k+1)(2k+1)(2k²+2k+1)
Ce qui nous renvoit aux systèmes suivants (k'+1>k') :
a) k+1=k' et (2k+1)(2k²+2k+1)=k'+1 => k(4k²+6k+3)=1, absurde.
b) 2k+1=k' et (k+1)(2k²+2k+1)=k'+1 => k(2k²+4k+1)=1, de même.
c) (2k²+2k+1)=k² et (k+1)(2k+1)=k'+1 => k=1.
Il y a donc une seule solution à ce problème : x=3.

Encore merci et à bientôt !

--
Sir Ahmed. --

Pas d'accord!

moi aussi

bien vu

Salam,

Pourquoi donc ?!
Il faut noter que k+1, 2k+1 et 2k²+2k+1 sont premiers entre eux, tout comme k' et k'+1.
En effet :
2(k+1)-(2k+1)=1
(2k²+2k+1)-2k(k+1)=1
2(2k²+2k+1)-(2k+1)²=1

C'est bon là, je pense...

salut
on a 14 et 19 sont premiers entre eux et 2 et 38 aussi
14*19=7*38
on ne peut pas dire que 7=14

Le re-Salam,

14x19=2x38 O.o
2^38=2..

Contre-exemple à revoir

c est ça ce que tu voulais dire
non

Salam,

Bon, il est vrai que le fait qu'ils sont premiers entre eux ne mène à rien..
(2x3)x(5x7)=2x(3x5)x7 ne veut rien dire..

Cependant, quand je dit "Ce qui nous renvoit aux systèmes suivants", j'entends des suppositions, pas une équivalence. Or, l'une d'elle montre que :
k'(k'+1)=K(K+1) qui équivaut k'=K et k'+1=K+1.

En d'autre termes, si je n'ai trouvé le 3, je n'aurais pu dire que le problème n'a pas de solutions.

Qu'en dites-vous maintenant ?