Petit exo pour les futurs SM

soit x de R

On pose a=cos(x)+sin(x)

calculer en fonction de a , A=cos^5(x)+sin^5(x)

Bon courage

cos^5(x) + sin^5(x) = (cosx +sinx)(cos^4(x) - cos^3(x)*sin(x) + cos²x*sin²x - cosx*sin^3(x) + sin^4(x))
=(cosx + sinx)(cos^4(x) + sin^4(x) - cosx*sinx(cos²x + sin²x - cosx*sinx))
=(cosx + sinx)(cos^4(x) + sin^4(x) - cosx*sinx(1-cosx*sinx))
=(cosx + sinx)(cos^4(x) + sin^4(x) + cos²x*sin²x - cosx*sinx)
=(cosx + sinx)((cos²x + sin²x)² - cos²x*sin²x - cosx*sinx).
=(cosx + sinx)(1 - cos²x*sin²x - cosx*sinx)
=(cosx + sinx)(1 - cosx*sinx(cosx*sinx +1))
on suppose :
t² = (cosx +sinx)² = cos²x +sin²x +2cosx*sinx
=1 +2cosx*sinx
donc: (t²-1)/2 = cosx*sinx
alors: cos^5(x) + sin^5(x) = [1 - ((t²-1)/2)(t²-1/2 +1))]
=t(1 - (t²-1/2) (t²+1/2))
=t/4 *(5-t^4)
lol!

c trés difficile

essayer de l'exprimer en fonction de a

donc M.MAHDI????????????????????????????????????????????????

éhhhhhhhhhhhhhh

on a : a= cosx+sinx
donc a² = (cosx+sinx)²
= cos²x+sin²x+2cosxsinx
= 1+2cosxsinx

donc : a²-1=2cosxsinx
(a²-1)/2=cosxsinx

A=cos^5(x)+sin^5(x) = (cosx+sinx)(cos^4(x)-cos^3(x)sin(x) +cos²(x)sin²(x)- cos(x)sin^3(x) +sin^4(x) )
A= a {(cos²x)²+(sin²x)² - cosxsinx (cos²x-cosxsinx+sin²x)}
A= a {(cos²x+sin²x)² - 2cos²xsin²x - cosxsinx ( 1-(a²-1)/2)
A= a { 1 - (a²-1)²/2 - ( a²-1)/2*(1-[(a²-1)/2]) }
A= a { 1 - (a²-1)/2 [ (a²-1)+(1-[(a²-1)/2]) }
A= a { 1 - (a²-1)/2 [ (a²-1) + ( 2/2 -[(a²-1)/2)] }
A= a { 1 - (a²-1)/2 [a²-1+(3-a²)/2] }
A= a { 1-(a²-1)/2 *(2a²-2+3-a²)/2}
A= a { 1-(a²-1)/2*(a²+1)/2}
A= a {1-[(a^4-1)/4]}
A= a { (4-a^4+1)/4}
A= a { ( 5-a^4)/4}
A=a/4 *(5-a^4)
A= (5a-a^5)/4

j'espère que c juste ^^

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