lim facile!!

bonjour!!
a est un réél.
calculer la limite:lim(+00)a^n/n!
vous pouvez discuter selon les valeurs de a!!

السلام عليكم ورحمة الله
je commence avec a>0
soit k £ N , tel que k > a donc 0<a/k <1 , et k <n
on a alors a^n = a^k.a^(n-k)
et n! = k!.(k+1).....n > k!(k)^(n-k)
donc a^n/n! = (a^k.a^(n-k))/(k!.(k+1).....n)<[a^k.a^(n-k)]/[k!.(k)^(n-k)]
et puisque lim(n->+00) [a^k.a^(n-k)]/[k!.(k)^(n-k)] = 0 (car lim(n->+00) a^(n-k)/(k)^(n-k) = 0 )
on a alors lim (n->+00) a^n/n! = 0

pour a<0 on peut faire la même méthode j'éstime

si a <0 alors on a pas de limite ( selon la parité de n )

ouais , et déjà posé ^^

ta méthode est juste badr!! Mais vous pouvez utuliser une autre assez simple on utulisant l'astuce suivant:
si limU_(n+1)/U_n=l tel que 0=<l=<1 alors limU_n=0 .
alors démontrez avec celle ci c trés claire maint.

ilham_maths a écrit:

ta méthode est juste badr!! Mais vous pouvez utuliser une autre assez simple on utulisant l'astuce suivant:
si limU_(n+1)/U_n=l tel que 0=<l=<1 alors limU_n=0 .
alors démontrez avec celle ci c trés claire maint.

salam
j'aimerai bien savoir ilham ;si c'est possible bien sur; la démonstration de cette relation
merci d'avance

$arah a écrit:

ilham_maths a écrit:

ta méthode est juste badr!! Mais vous pouvez utuliser une autre assez simple on utulisant l'astuce suivant:
si limU_(n+1)/U_n=l tel que 0=<l=<1 alors limU_n=0 .
alors démontrez avec celle ci c trés claire maint.

salam
j'aimerai bien savoir ilham ;si c'est possible bien sur; la démonstration de cette relation
merci d'avance

Moi j'aime surtout démontrer les propriété par moi même !!!

merci Mr raito pour le conseil implicite
mais moi je suis troooooooop passive et j'aime pas démonter
et c'est a vous de voir

En fait y a un truc bizaroïde :

On prend U_n=n on a lim U_{n+1}/U_{n} = 1 et pourtant lim U_n = + 00

Alors ilham tu expliques ?

PS à Sarah : est-ce que j'ai l'air d'avoir plus de trente ans ?? à l'avenir raito ira trés bien ( non mais avec le Mr je m'imagine avec un quarantaine d'année ça fait un truc de ouf lol)

raito321 a écrit:

En fait y a un truc bizaroïde :

On prend U_n=n on a lim U_{n+1}/U_{n} = 1 et pourtant lim U_n = + 00

Alors ilham tu expliques ?

PS à Sarah : est-ce que j'ai l'air d'avoir plus de trente ans ?? à l'avenir raito ira trés bien ( non mais avec le Mr je m'imagine avec un quarantaine d'année ça fait un truc de ouf lol)

Justement, il faut que la limite en question soit strictement inférieure à 1
Pour la démo, vous la verrez en prépa l'an prochain
Mais c'est facile de le faire soit-même, elle repose sur les limites des suites géométriques...

Voir http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/MC2/node32.html si vous voulez...

bonjour tt le monde!!
donc à vous de démontrer premiérement les propriétés suivants:
1/ si limU_(n+1)/U_n=l (0<l<1) alors limU_n=0.
2/ si limU_(n+1)/U_n=l (1<l) alors lim U_n=+00.
3/ si limU_(n+1)/U_n=1 on ne peut rien dire.
puis avec la 1ere vous pouvez résoudre l'exo trés facilement!!
pour moi je me bloque sur la démonstration de la 3éme .
alé bonne chance!!

euh!!merci hamza pour le lien

ilham_maths a écrit:

3/ si limU_(n+1)/U_n=1 on ne peut rien dire.

Pour la 3eme, c'est facile, on peut avoir toutes les limites qu'on veut...
Suffit par exemple de considérer Un=n, Vn=1/n et Wn=alpha avec alpha dans R pour déduire que toutes les valeurs de R union l'infini sont possibles...

ah oui!!g compris l'idée maint
merci bq hamzaa

1) lim (U(n+1)/Un)=l ===>
( qu soit e>0 ;ilya a deN ) n>a ==> l-e<Un+1/Un<l+e

donc est juste pour e=(1-l)/2

donc l-e<Un+1/Un<l+e
l-e<Un/Un-1<l+e
. . .

l-e<U(a+1)/Ua<l+e

on fait le produit [(l-1)/2]^(n-a)Ua<Un<[(1+l)/2)]Ua


et puisque 0<l<1 0<(1+l)/2<1 et -1<(l-1)/2<1
lim[(l-1)/2]^(n-a)=lim([1+l)/2]^(n-a)=0

donc limUn=0

vous pouvez aussi le demontre en utilise cette relation


lim(Un+1/Un)=l ===>limUn^(1/n)=l

la meme chise pour les autres

enfin ,j'ai trouvé le lien
https://mathsmaroc.jeun.fr/terminale-f3/suites-qui-tend-vers-0-t7862.htm