probleme algébrique

(K ,+,x) est un corps tel que K différent de {0k} (e l’élément neutre de x) :
i : pour tout a de K- {0,-e,e} a^-1=-a
ii: pour tout a de K- {0,-e,e} a^2=-e
en utilisant l’élément a+e montrer que e vérifie l’un des deux conditions suivantes :

1) e+e+e=0
2) e+e+e+e=0

Aller aider moi.[/b]

c'est bizarre ton exo....

Pour moi, on a :

a^(-1).a^(-1) = (-a).(-a) ie a^(-2) = a² ie a^4 = 0
et cela pour tout a différent de 0 e et -e

A partir de la :

0 = a^4 = a².a² = (-e).(-e) ie 0 = e

DONC, on a pour tout a :

a = a.e = a.0 = 0 c'est à dire que ton corps K est réduit à {0} ce que tu as exclu dans ton énoncé....

Il s'agit de montrer que la caractéristique de K soit 3 soit 4.

Mais les hypothèses montrent que K={0,e,-e} ie caract(K)=3.

En effet, j'ai fais une erreur de raisonnement.

Par l'absurde, supposons qu'un tel élément a différent de e, -e et 0 existe. Alors, d'après ce que j'ai montré K = {0} ce qui est exclu donc un tel élément n'existe pas.

Il en résulte que K = {0,e,-e} comme M Abdelbaki Attioui l'a très justement remarqué.

C'est au programme de prepa la caractéristique d'un corps?
Soit K un corps (e désignant l'élément neutre multiplicatif)
u : Z-> K est une application linéaire
n--> n.e

ker u est donc un sousgroupe de Z donc de la forme aZ
a s'appelle la caractéristique du corps K

Bon j'espère ne pas trop m'embrouiller.

On a K = {0,e,-e}

la stabilité de + dasn K nous donne que e+e est dans K. On a alors trois solutions :

e+e= e ie e=0 ce qui est exclu

e+e = 0 ie e=-e et alors K est de caractéristique 2

e+e = -e ie K est de caractérsitique 3

conclusion K est de caractéristique 2 ou 3.