l'un des exercies les plus anciens et les plus complexes.

soit a une constante>0 et diférent de 1.
trouver toutes les applications f(x) telles que:

slt
on a f(ax)+f(-ax)=3(f(x)+f(-x)) =>u_n=3^n(f(x)+f(-x))
si a<1:
lim u_n/3^n=0 donc:f(-x)=-f(x) =>f(ax)=-f(x) =>(-1)^nf(a^nx)=f(x) => f(x)=0 avec une petite limite
si a>1 :
si f est bornée on a lim u_n/3^n=0 par un petit encadrement
dpnc f(x)+f(-x)=0 => f(x)=(-1)^nf(x/a^n) de meme avec une limite et l'encadrement on a f(x)=0
si f n'est pas borné alahou a3lam, j vais l traiter apres

u_n=f(a^nx)+f((-a)^nx) mais j pense que j commis une erreur

ouffffff,tu sais kalm ça fait longtemps que j'essaye de limiter le domaine d'étude et chque fois il y a d'autres cas,ton cas parait donc trés restraint,iwa ana radi nchouf radi twwsal had lhrira

On peut arriver a g(at)=-g(t) avec g(t)=f(t)-f(-t)
alors la distinction des cas a> ,=,< 1 semble necessaire mais e crois que cela ne sera efficace qu'avec la cdt de continuitéqui est malheureusement n'et po mentionnée !! ( il suffit seulemnt la continuité e zero !! )

f(ax)=f(x)+2f(-x)

f(a^nx)= u_n f(x)+ v_n f(-x)
f(a^(n+1)x)=u_n f(x)+ v_n f(-x) +2 (u_n f(-x)+ v_n f(x))

==> u_(n+1)= u_n+2v_n et v_(n+1)=v_n+2u_n

Déterminer les suites (u_n) et (vn)?

ok monieur ATTIOUI,j'ai trouvé les deux suites mais j'ai pas parvenu à trouver les fonctions f.TOUTEFOIS,j'ai résoulu le problème mais il me reste un seule chose à déterminer,
quelles sont les fonctions f qui vérifient;
f(x+2)=af(x+1)+bf(x) (a et b #0)

bon je crois que j'ai obtenu le résultat mais c'est longue et belle (je pense!!!)

hhh,bant lia wa7d sigma raaaaahaaa,rah makayban walou

je serai trés heureux si vous lisez mon assaie,et j'attend vos commentaires et vos critiques

j'en suis pas sur
je veux une vérification et merci

Le problème : résoudre f(ax)=f(x)+2f(-x) a>0 différent de 1

La solution que je propose :

Soit P(x) la propriété f(ax)=f(x)+2f(-x)

Soit g(x)=f(x)/2+f(-x)/2. En additionnant P(x) et P(-x), on trouve (E1) : g(ax)=3g(x)
Soit u(x)=f(x)/2-f(-x)/2. En soustrayant P(-x) à P(x), on trouve (E2) : u(ax)=-u(x)

Donc : toute solution f(x) au problème initial est la somme d'une solution paire de l'équation "(E1) : g(ax)=3g(x)" et d'une solution impaire de l'équation "(E2) : u(ax)=-u(x)".

Réciproquement : Soit f(x) somme d'une solution paire de l'équation "(E1) : g(ax)=3g(x)" et d'une solution impaire de l'équation "(E2) : u(ax)=-u(x)". Alors :
f(ax) = g(ax)+u(ax) = 3g(x)-u(x) = g(x)+u(x)+2(g(x)-u(x)) = g(x)+u(x)+2(g(-x)+u(-x)) = f(x) + 2f(-x)

Le problème se ramène donc à trouver toutes les solutions paires de l'équation "(E1) : g(ax)=3g(x)" et toutes les solutions impaires de l'équation "(E2) : u(ax)=-u(x)", ce qui est très classique.

Une forme générale des solutions paires de E1 est g(x)=3^[ln(|x|)/ln(a)] h({ln(|x|)/ln(a)}) pour x non nul et g(0)=0
Une forme générale des solutions impaires de E2 est u(x)=(|x|/x)(-1)^[ln(|x|)/ln(a)] k({ln(|x|)/ln(a)}) pour x non nul et u(0)=0

Une forme générale de la solution de l'équation demandée est donc :

f(x) = 3^[ln(|x|)/ln(a)] h({ln(|x|)/ln(a)}) + (|x|/x)(-1)^[ln(|x|)/ln(a)] k({ln(|x|)/ln(a)}) pour x non nul
f(0)=0
h(x) et k(x) étant deux fonctions quelconques définies sur [0,1[

Nota : [x] et {x}désignent respectivement les parties entières et fractionnaires de x