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Sujet: arithmétique des polynomes Lun 11 Aoû 2008, 22:34
soit un polynome dont les coéficients sont intégres tel que: . Prouver que: il existe un entier et un nombre premier tel que divise mais ne divise pas .
radouane_BNE Modérateur
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Sujet: Re: arithmétique des polynomes Mer 13 Aoû 2008, 00:44
joli exercice!
soient p (nombre premeir) et m un entier tel que p divise f(m). puisque f(m) est premeir avec f'(m) alors p ne divise pas f'(m). maintenant si p divise f(m) alors il divise aussi f(m+kp) (avec m£[1,p-1]. supposons que p² divise f(m) alors f(m+kp). le developement de TAYLOR donne que f(m+kp)=f(m)+kpf'(m)+µ (avec µ est divisible par p²) ,donc p² divise kpf'(m),soit p divise kf'(m) ,Or p^k=1,ce qui donne d'aprés GAUSS p divise f'(m),absurde!
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un polynome dont les coéficients sont intégres tel que: 
. Prouver que: il existe un entier 
et un nombre premier 
tel que 
mais 
ne divise pas 