Serie sur Z

Salut à tous,

A+

Salut tous :
On peut ecrire cette serie que ce suite:
sum_{k=0;+00}(1/(x+k)²) + sum_{k=0;+00}(1/(x-k)²)
c'est tres facile juste je la reponse prochainement en utilisant LaTeX pour bien etre clair
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LAHOUCINE
@++

pour x de Q c'est pas tres tres difficile car on peut utiliser les suites,mais pour les reel c'est pas elementaire j pense,mais en generale je vois qu'il ya une relation entre ca et les equations differentiels
par exemple pour x de Z (dans la somme on saute le x )

kalm a écrit:

pour x de Q c'est pas tres tres difficile car on peut utiliser les suites,mais pour les reel c'est pas elementaire j pense,mais en generale je vois qu'il ya une relation entre ca et les equations differentiels
par exemple pour x de Z (dans la somme on saute le x )

D'ou vient le Pi²/6?
Sinon, Kalm, évite de faire ça avant d'être en spé... car tu n'as pas encore vu le cours qui te permettrait de faire impunément tes interversions somme-intégrale et il se peut que cela fournisse des résultats complètement absurdes.

pour le pi²/6 c'est f(0),et pour ce que tu as ecrit en bas ...

Salut à tous,

Bon pour que vous ne perdez pas davantage, la reponse est (Pi/sin(Pi.x))²
Et vraiment ce n'est pas facile: Utilisez tout votre bagage mathématique.

(Pour ce qui connaissent les fonction Psi, Gamma et Zeta: Ca serait un jeu d'enfant!!)

A+

salut kalm, comment peut tu sommer sur un rationel?

Soit f(x) la somme en question. f est définie sur IR\Z même C00.
Car sur]n,n+1[ 1/(x+k)²~ 1/k² qd k --> +00.
f est 1-périodique ==> il suffit de calculer f sur I=]0,1[. Soit x€I

Pour tout n >0 , soit Sn(x)= somme(k=-n à n et n#0) 1/(x+k)²
==> int( 0,x,Sn(t)dt)= somme(k=-n à n et n#0) (1/k-1/(x+k))
=(-1/n-1/(x-n))+...+(-1/1-1/(x-1))+(1/1-1/(x+1))+...+(1/n-(1/(x+n))
=-1/(x-n)-...-1/(x-1)-1/(x+1)-...-1/(x+n)
=- somme(k=1 à n) 2x/(x²-k²) ---> 1/ x - pi cotan(pi x) (Développer cos(xt) pour t €[-pi,pi] en série de Fourier)
==> f(x)= pi²/sin²(pi x)