Exo de proba

On prend au hazard 3 points sur un cercle, quelle est la probabilité pour qu'ils se trouvent sur le même demi-cercle. mercii d'avance

intuitivement 1/2

exodian95 a écrit:

intuitivement 1/2

Faux ! d'après ton résultat , les points sont ou bien au 1er demi cercle ou bien au 2ème , tandis que les points peuvent à la fois dans les 2

BSR à Toutes et Tous !!

J'aurai bien aimé que quelqu'un modélise le problème et nous en donne une solution complète !!
Je cherche de mon côté par simple curiosité intellectuelle .

Salut a tous il est clair "O" l'univers des posssibiliité de mettre les points est O={A;B} avec:
A:" deux points sont sur un demi cercle est l'autre point sur l'autre demi cercle".
B:" trois points sont tous sur un demi cercle".
alors Card(O)=2.
donc la probabilité de B (P(B)) p(B)=1/2.
alors c'est juste chez l'exodian95
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LaHOUcINe
@++

A mon sens le problème est mal posé: le demi cercle en question est-il déterminé d'avance? ou plutôt détermine-ton la possibilité de placer ces 3 points dans un demi cercle à chercher, une fois ces 3 points précisés? Et aussi, les points peuveut-ils être différenciés?

Si le demi cercle est déjà précisé à l'avance (sans prendre en compte les 2 points qui appartiennent aux 2 demi cercles), plutôt simple, 1/2 si les points sont identiques, 2*(1/2)^3 sinon.

Sinon...
Disposons les 3 points, supposons pour faciliter que nous nous trouvons sur le cercle géométrique.
Notons ces 3 points M1, M2 et M3, d'arguments x1, x2 et x3.
Et notons N1, N2 et N3 les points qui leur sont diamétralement opposés.

Par simple intuition (et ça se démontrerait relativement facilement avec les angles!) M3 ne peut appartenir à aucun demi cercle contenant M1 et M2, si jamais M3 se trouve entre N1 et N2 (et entre, dans le sens petit arc...), pareil pour M2 et M1.

Donc, notons A1, A2 et A3 les évènements suivants:
A1: M1 se trouve entre N2 et N3 de proba P1.
A2: M2 se trouve entre N1 et N3.
A3: M3...

La probabilité cherchée devrait être:
P = 1 - (P1+P2+P3)

Il devrait être possible d'aboutir au résultat à partir de là, en affinant un peu le raisonnement...
Ainsi, selon que l'arc M1M2 (l'un des 2 donc!) allant de M1 à M2 dans le sens trigonométrique (oui, ce n'est pas très mathématique tout ça, tant pis! ce que je veux dire se comprend assez aisément!) détermine un angle supérieur ou pas à Pi, on déduire que selon le cas:
P1 = |x1-x2|/2pi (rapport des longueurs d'arcs)
Ou bien P1 = (2Pi-|x1-x2|)/2Pi.

Ainsi, des suppositions sur les emplacements des points M1, M2 et M3, soit des suppositions sur P1 et P2, donneront automatiquement une seule possibilité pour P3 (géométrie!), ça devrait aboutir à des simplifications...

Tout ça est hasardeux, je le concède, mais bon, le raisonnement est pas trop mauvais non? :p
Que les courageux continuent, j'y penserais moi-même après aux considérations pour conclure mon calcul!

BSR hamzaaa !!!
Ton Post m'a inspiré la démarche suivante :
On note M1,M2 et M3 les trois points que l'on place sur le cercle de manière aléatoire !
On suppose le cercle de rayon R , on l'aplatit pour en faire un segment [0;2Pi.R] en le coupant !!
A chaque point Mi est attaché une variable aléatoire Xi dont la loi de Proba serait la Loi Uniforme U([0;2Pi.R])dont on connait d'ailleurs la Densité de Proba , c'est la fonction :
f : t---------->f(t) de IR dans IR+
avec :
f(t)=0 si t<0 ou si t>2Pi.R et f(t)=1/{2Pi.R} si t est dans [0;2Pi.R]
On introduit alors les deux variables aléatoires :
U=Min{X1,X2,X3} et V=Max{X1,X2,X3}
Rappelons que les trois variables aléatoires X1,X2 et X3 sont indépendantes ( elles ne sont pas corrélées )!!! Puisque les positions des points M1,M2 et M3 sont indépendantes l'une de l'autre !!
La question est d'évaluer :
P{0<=V-U<=Pi.R}
Ce sera fait lorsqu'on aura déterminé les Lois de Proba des deux variables aléatoires U et V !!
Ce que je suis entr'ain de chercher à titre de curiosité !!!!

moi j dit p=1/2

salam

soit O le centre du cercle , A , B et C les points en question dans cet ordre

il faut que :

0 =< angle(AOB) + angle(BOC) =< pi

l'évènement certain (Oméga) modélisé par [0, 2pi]

l'évènement E (3 points sur le même demi cercle) modélisé par [0, pi]

c'est la loi uniforme

p(E) = (pi- 0) / (2pi - 0) = 1/2

.......................................

Bonjour,

La probabilité demandée est égale à 3/4.

Pour le justifier on commence par orienter le cercle. Si les 3 points sont dans un même demi-cercle, l'un des 3 est le premier (A1,A2 ou A3).
La proba demandée est donc égale à 3 fois la proba que A1 soit le premier, A2 et A3 étant dans le demi-cercle qui suit A1.
A1 peut être placé n'importe où: A2 et A3 sont dans le demi-cercle qui suit A1 avec la proba (1/2)^2=1/4.

On généralise aisément à n points: la proba que les n points soient dans un même demi-cercle est égale à n*(1/2)^{n-1}.