Applications du théorème de Baire

1) Soit f : IR+-->IR uniformément continue, telle que pour tout x > 0,
f(nx) --> 0 quand n -->+00.
Montrer que f(x) -->0 quand x --> +00.

2) Soit E un espace métrique complet. Montrer qu'une intersection dénombrable d'ouverts denses est dense. En déduire
que si les Fn sont des fermés tels que UFn = E, alors l'un des Fn est d'intérieur non vide.

3) Soit f : IR+ -->IR continue, telle que pour tout x > 0, f(nx) --> 0 quand n -->+00.
Montrer que f(x) -->0 quand x --> +00.

1-

. soit eps > 0, il existe d > 0 tq
|x - y | < d => |f(x) - f(y)| < eps

. f(n*d) --> 0 : il existe n0 tq n >= n0 => | f(n*d) | < eps

. soit x > n0*d, n > max (|d-x|/d,|d+x|/d,n0) (de sorte que |x/n-d|<d)
alors |f(x)| < |f(x) -f(n*d) | < 2*eps

2-

Grand classique : tout espace métrique complet (ou localement compact) est de Baire.

Le même avec des fermés : toute union dénombrable de fermés d'intérieure vide est d'intérieur vide.



3- Tout le truc avec Baire c'est de trouver les bons ouverts ou les bons fermés.

Ici c'est pas trop dur : F_n(eps) = {x € IR+*/ pour tout k >= n, f(n*x) < eps }

Par hypothèse U F_n = IR+*
Les F_n sont fermés par continuité de f.

Il y a donc un fermé F_n0 qui n'est pas d'intérieur vide, i.e qui contient I=]x,y[ un intervale ouvert non vide.

Alors |f(x)| < eps pour tout x dans ]n*x,n*y[ avec n >= n0.

Dès que k*y >= (k+1)*x (i.e k >= x/(y-x)) les intervales se chevauchent et recouvrent tout [ N*x, +oo[ avec N = max(n0, [x/(y-x)]+1)

Salut,

je vous écris juste pour signaler l'existence d'un site web collaboratif (wiki) dont le but est de recenser les diverses applications du lemme de Baire : http://ocarina.ath.cx/~titi/twiki/bin/view/BwataBaire/WebHome

Salut,

l'adresse du wiki sur les applications du lemme de Baire a changé, c'est désormais :



Ciao,
René Baire