Généralisation théorème de la médiane : Théorème de Stewart

Théorème de Stewart : Soit p une cévienne coupant en X le côté a en deux parties, m et n, alors on a :



Démonstration :

D'après le théorème d'Al-Kashi nous avons :



Puisque ^{BXA} et ^{CXA)} sont supplémentaires, alors la somme de leur cosinus est nulle, d'où après somme nous obtenons :

Lorsque m = n, on retoruve bien le théorème de la médiane.

Ce qui est bien avec le théorème de Stewart c'est qu'il économise l'utilisation du théorème d'al kashi deux fois et permet de trouver une relation directe entre les côtés des triangles.
Malheuresement ce théorème ne figure pas dans le programme des Olympiades, donc il faut le démontrer pour pouvoir l'utiliser, donc il suffit de se contenter d'utiliser Al kashi pour arriver aux résultats voulus.