Calculer des Sommes en utilisant les polynôme

Salam

Comment arrive-t-on à calculer les sommes S1=1+2+...+n et S2=1²+2²+...+n² et S3=1^3+2^3+...+n^3 .....en cherchant des polynômes : par exemple pour S1 le polynôme est P(x)=an²+bn+c , pour S2 le polynôme est P(x)=An^3+Bn²+Cn+D .....

il l'a montré un Prof sur la chaine marocaine Arrabi3a !

Salam

Salut,

Voir polynômes de Bernoulli !

pourquoi tu te complique la vie:

S1=1 + 2 +3 +.....+n
S1=n + (n-1) +(n-2) +.....+1

donc 2S1=n(n+1)

si tu veux claculer Sm tu trouve un polynome de degré m+1 tel que
P(n+1)-P(n) = n^p pour tout entier n

et tu fais une somme telescopique.

Personne n'a bien répondu à la question, je ne cherche pas à calculer les sommes , mais plutôt la manière dont on arrive à prouver l'existence du polynôme convenable pour chaque somme .

ça reste !

ouais c'est la méthode qu'à dit schwarz:
en fait cette fameuse méthode était mon arme contre les suite (quand j'étais au T.C) et elle est tjrs contre les séries maintenant.
On considère le polynôme P tel que
P(x+1)-P(x)=x
P(x)=ax²+bx+c
P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
P(x+1)=ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x+1)=P(x)+2ax+a+b
P(x+1)-P(x)=2ax+a+b
x=2ax+a+b
donc: a=1/2 et b=-1/2
O prend c=0 ainsi: P(x)=1/2x²-1/2x
P(x)=1/2x(x-1)

P(2)-P(1)=1
P(3)-P(2)=2
P(4)-P(3)=3
..................
P(n)-P(n-1)=(n-1)
P(n+1)-P(n)=n

On somme le tout et on obtient:
P(n+1)-P(1)=1+2+3+....+n
et comme P(1)=0
P(n+1)=1+2+3+...+n
1/2n(n+1)=1+2+3+....+n
je crois que c'est satisfaisant
J'attends que quelqu'un confirme ce que je dis, meme si je suis trop sur de ma méthode, Il ne faut jamais s'aventuer en espace maths supp si on est encore lycéen et meme pas en terminal

@ Nota -Bene !!!
Si avec toutes ces réponses , tu n'es toujours pas satisfait , il te reste alors :
<<il l'a montré un Prof sur la chaine marocaine Arrabi3a ! >>
à contacter Arrabi3a et leur demander une copie-vidéo de l'émission en question , quant à ce Prof il devrait publier ses résultats que nous ne connaisssons pas et peut etre gagnera -t-il la Médaille Fields ( équivalent du Prix Nobel de Maths ) !!!
Ca reste !!!!!!!!
LHASSANE

ben vous vous bloquez alors !!!

alors

tu veux dire comment on doit trouver la somme de

S=1^n + 2^n + ........+ (n-1)^n +n^n !!!

je veux bien trouver la repanse !!!?

je note C(n,k) le coefficient du binome "k parmi n"

Sp(n)=1^p+2^p+..+n^p

Comment calculer Sp en connaissant tout les autres avant?

(r+1)^(p+1)=r^(p+1) +somme(C(p,k)*r^k, k=0..p)

donc (n+1)^(p+1)=1 + somme(C(p,k)*Sk, k=0..p)

et on en tire donc Sp

schwartz a écrit:

si tu veux claculer Sm tu trouve un polynome de degré m+1 tel que
P(n+1)-P(n) = n^p pour tout entier n

et tu fais une somme telescopique.

Voici la plus meilleures des méthodes

explicite P(n) lol
c'est vraiment pas chose facile

codex00 a écrit:

ouais c'est la méthode qu'à dit schwarz:
en fait cette fameuse méthode était mon arme contre les suite (quand j'étais au T.C) et elle est tjrs contre les séries maintenant.
On considère le polynôme P tel que
P(x+1)-P(x)=x
P(x)=ax²+bx+c
P(x+1)=a(x+1)²+b(x+1)+c
P(x+1)=ax²+2ax+a+bx+b+c
P(x+1)=P(x)+2ax+a+b
P(x+1)-P(x)=2ax+a+b
x=2ax+a+b
donc: a=1/2 et b=-1/2
O prend c=0 ainsi: P(x)=1/2x²-1/2x
P(x)=1/2x(x-1)

P(2)-P(1)=1
P(3)-P(2)=2
P(4)-P(3)=3
..................
P(n)-P(n-1)=(n-1)
P(n+1)-P(n)=n

On somme le tout et on obtient:
P(n+1)-P(1)=1+2+3+....+n
et comme P(1)=0
P(n+1)=1+2+3+...+n
1/2n(n+1)=1+2+3+....+n
je crois que c'est satisfaisant
J'attends que quelqu'un confirme ce que je dis, meme si je suis trop sur de ma méthode, Il ne faut jamais s'aventuer en espace maths supp si on est encore lycéen et meme pas en terminal

voilà un exemple pour comprendre

effectivement elle est bien t'a méthode
en fait le seul probleme c pr les grands k ton polynome il devient difficile a calculer. mais j'avoue ke je ne la connaissait po et k'elle m'interesse bcp

Bonsoir codex00 !!!!
Raa23 n'est pas en désaccord avec toi et moi non plus !
On te dis seulement que cette méthode peut se faire pour de petites valeurs de p , p=1,2,3
Mais dans le cas général , p qqque et peut etre grand , il n'est pas aisé de fabriquer explicitement un tel polynome P(X) de degré (p+1) [il y avait erreur sur le degré de P ] en vue de calculer Sp.
LHASSANE

Pour ta méthode Codex00 par exemple pour n quelquonque on obtient la formule Pn(x)=Somme(Ak*x^k,k=0..n+1)
avec (apres beacoup de calculs et d'interversions)
An+1=1/(n+1)
et pour tout r
Ar=Somme(Ak*C(k,r) , k=r..n+1) oû C(k,r) est "r parmi k"
de la à expliciter les Ar..
On arrive par exemple à montrer que An=1/2
et que seuls sont présents An+1,An,An-1,An-3,An-5,An-7...
c'est à dire An-2k = 0 pour k>0