min de f(x)

a: Soit la fonction f définie, pour tout réel x strictement positif, par : f(x) = x^ x .
déterminer min{f(x)/x£IR+*}.
b: Soient x et y deux réels strictement positifs. Montrez que x ^y + y^ x > 1

oui.
bravo

selfrespect a écrit:

♦considerer la fct definie sur R+* par :
f(x)=e^(xln(x)) ,f'(x)=0 ==>x=1/e.
le min de f est (1/e)^[1/e]
♦ considere la fct defini sur R*+ de variable x et de parametre y (>0)
f(x)=x^y+y^x
c clair que y^x>y^0=1 et x^y=exp(yln(x))>0
donc f(x)>1

si On prend par exemple ton parametre y=1/2 et x=1 alors comme tu dit on a klk soit (x,y) € IR+*² on a y^x>y^0 d'ou (1/2)^1 >1 ce qui impossible!! alors keske tu dit Selfo?

BSR à Toutes et Tous !!!
Alaoui.Omar , tu as raison !!!
Il y a qqquechose qui cloche dans ce que dit Selfrespect .
Je vais voir celà de +près et vous reviendrais.
A+

b-on sait que (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2.
et avec y=0 on a la réponse
pour la preuve de (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2
tu peux voir le probléme de mai
https://mathsmaroc.jeun.fr/Probleme-du-mois-f20/probleme-de-mai-2007-t3397.htm

C'est PARFAIT otman4u !!!!
On prendra seulement plutot z=0 pour récupérer le Pb de callo .
A+

otman4u a écrit:

b-on sait que (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2.
et avec y=0 on a la réponse
pour la preuve de (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2
tu peux voir le probléme de mai
[url=https://mathsmaroc.jeun.fr/Probleme-du-mois-f20/probleme-de-mai-2007-t3397.htm

https://mathsmaroc.jeun.fr/Probleme-du-mois-f20/probleme-de-mai-2007-t3397.htm[/quote[/url]]

Jolie Mon ami Othman Bien

Oeil_de_Lynx et Alaoui.Omar : merci a vous

otman4u a écrit:

b-on sait que (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2.
et avec y=0 on a la réponse
pour la preuve de (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2
tu peux voir le probléme de mai
https://mathsmaroc.jeun.fr/Probleme-du-mois-f20/probleme-de-mai-2007-t3397.htm

Il y a un tout petit problème !!
On ne peut pas faire z=0 subitement comme tu le fais otman4u !!
Il faut en fait faire tendre z vers O+ avec x, y fixés dans IR+* , dans l'inégalité obtenue dans le Pb Mai 07 pour avoir par continuité :
(x + y)^z=exp(z.Log(x+y)) ----------> 1
(x + z)^y=exp(y.Log(x+z)) ----------> x^y
et enfin (y + z)^x=exp(x.Log(y+z)) -----------> y^x
donc on aura par passage à la limite qd z---->0+
1+x^y+y^x >=2 donc x^y+y^x >=1 si x>0 et y>0
Excusez-moi donc , hier j'étais quelque peu trop enthousiaste !!!
Par conséquent , le résultat ANNONCE de Selfrespect est correct MAIS sa démo cloche comme même quelquepart et je vais voir OU !!!
Mais l'idée d'otman4u est EXCELLENTE !!!
A+
pS: je peux encore préciser qu'en fait le minimum 1 de x^y+y^x sur IR+*XIR+* n' est jamais atteint donc x^y+y^x >1 si x>0 et y>0
Sachez aussi qu'ensembles , nous faisons de belles choses en Maths !!!!!

selfrespect a écrit:

considerer la fct definie sur R+* par :
f(x)=e^(xln(x)) ,f'(x)=0 ==>x=1/e.
le min de f est (1/e)^[1/e]
considere la fct defini sur R*+ de variable x et de parametre y (>0)
f(x)=x^y+y^x
c clair que y^x>y^0=1
et x^y=exp(yln(x))>0
donc f(x)>1

C'est ce qui est en rouge qui est FAUX selfrespect !!!!
En effet , y est un paramètre fixé , y>0
On a y^x=exp(x.Log(y))
Si y>1 alors Logy>0 d'ou exp(x.Log(y)) >1 pour tout x>0
Si y=1 alors exp(x.Log(y)) =1 pour tout x>0
MAIS si 0<y<1
alors Logy<0 et donc 0<exp(x.Log(y))<1 pour tout x>0.
CONCLUSION : on n'a pas toujours y^x>y^0=1 .
A+ LHASSANE

oui desolé je me suis trompé mon raisonnement etait faux :-)
merçi .
a+

Oeil_de_Lynx a écrit:

otman4u a écrit:

b-on sait que (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2.
et avec y=0 on a la réponse
pour la preuve de (x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2
tu peux voir le probléme de mai
https://mathsmaroc.jeun.fr/Probleme-du-mois-f20/probleme-de-mai-2007-t3397.htm

Il y a un tout petit problème !!
On ne peut pas faire z=0 subitement comme tu le fais otman4u !!
Il faut en fait faire tendre z vers O+ avec x, y fixés dans IR+* , dans l'inégalité obtenue dans le Pb Mai 07 pour avoir par continuité :
(x + y)^z=exp(z.Log(x+y)) ----------> 1
(x + z)^y=exp(y.Log(x+z)) ----------> x^y
et enfin (y + z)^x=exp(x.Log(y+z)) -----------> y^x
donc on aura par passage à la limite qd z---->0+
1+x^y+y^x >=2 donc x^y+y^x >=1 si x>0 et y>0
Excusez-moi donc , hier j'étais quelque peu trop enthousiaste !!!
Par conséquent , le résultat ANNONCE de Selfrespect est correct MAIS sa démo cloche comme même quelquepart et je vais voir OU !!!
Mais l'idée d'otman4u est EXCELLENTE !!!
A+
pS: je peux encore préciser qu'en fait le minimum 1 de x^y+y^x sur IR+*XIR+* n' est jamais atteint donc x^y+y^x >1 si x>0 et y>0
Sachez aussi qu'ensembles , nous faisons de belles choses en Maths !!!!!

salut
a vraie dire j'ai pas compris pourquoi on doit passer par les limites et non pas donner a z directement la valeur 0?
et merci beaucoup
a+

BSR otman4u !!!
Le PB 05/2007 était libéllé ainsi :
<<Montrer que , pour tous réels x, y et z >0


(x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2. >>
Donc l'inégalité à prouver est vraie pour .......z>0 ;
Donc tu ne peux pas y faire directement z=0 par contre , tu peux chercher que devient l'inégalité lorsque x, y >0 sont fixés et z se rapproche de 0 ( z ------> 0) .
Vois-tu ma pensée !!!
A+ LHASSANE

Oeil_de_Lynx a écrit:

BSR otman4u !!!
Le PB 05/2007 était libéllé ainsi :
<<Montrer que , pour tous réels x, y et z >0


(x + y)^z + (x + z)^y + (y + z)^x > 2. >>
Donc l'inégalité à prouver est vraie pour .......z>0 ;
Donc tu ne peux pas y faire directement z=0 par contre , tu peux chercher que devient l'inégalité lorsque x, y >0 sont fixés et zse rapproche de 0 ( z ------> 0) .
Vois-tu ma pensée !!!
A+ LHASSANE

salut
oui j'ai pas remarqué.Bravo;vous avez tout a fait raison
et merci pour l'explication.
a+

bonsoir juste une precision on a inf(x^y+y^x=1) n'est ce pas?

saad007 a écrit:

bonsoir juste une precision on a inf(x^y+y^x)=1 n'est ce pas?

C'est celà saad007 !!
J'avais dit auparavant :
<<PS: je peux encore préciser qu'en fait le minimum 1 de x^y+y^x sur IR+*XIR+* n' est jamais atteint donc x^y+y^x >1 si x>0 et y>0 >>
Bonsoir à Toi et aux autres qui viennent d'arriver !!
A+ LHASSANE

on peut supposer 0<x<1 et 0<y<1 , y<=x on note a=y/x £ ]0.1]
on considere l'application f: ]0.1]-->IR
x---->x^(ax)+[(ax)^(ax)]^1/a (a fixé)
il est deja demontre que le minimum de x--> x^x est m= (1/e)^1/e
en deduit que qlq x £ ]0.1[ f(x)>=m^a+ma puis on etudie a-->m^a+ma

Sinchy a écrit:

on peut supposer 0<x<1 et 0<y<1 , y<=x on note a=y/x £ ]0.1]
on considere l'application f: ]0.1]-->IR
x---->x^(ax)+[(ax)^(ax)]^1/a (a fixé)
il est deja demontre que le minimum de x--> x^x est m= (1/e)^1/e
en deduit que qlq x £ ]0.1[ f(x)>=m^a+ma puis on etudie a-->m^a+ma

BJR-BSR Sinchy !!!
Tu ne peux envisager l'étude de cette fonction f de x avec TON PARAMETRE a VU QUE a , tel qu'il est construit dépend de x et de y ???!!!
Cela est donc un peu gênant ou alors , avec mon petit cerveau , je n'ai pas compris !!
A+ LHASSANE

voial une demarche classique
1) en etudiant la fonction f(x)=x^x on trouvera quele minimum de f(x) est

2)on demontre que avec 0<y<=x<1


3) on deduit que
en etudiant la fonction x--->m^x+mx

4) et vous pouvez facilement par la suite demontrer que inf(x^y+y^x)=1

saad007 a écrit:

voial une demarche classique
1) en etudiant la fonction f(x)=x^x on trouvera quele minimum de f(x) est

2)on demontre que avec 0<y<=x<1


3) on deduit que
en etudiant la fonction x--->m^x+mx

4) et vous pouvez facilement par la suite demontrer que inf(x^y+y^x)=1

oui c la voie quon doit suivre -instinctivement- mais elle nestpas la belle !!
voila une autre deja posté dans le lien de Otman et posté par radouane !
il suffit demontrer que x^y>x/(x+y)
puyis sommation

salut selfrespect
x^y>x/(x+y) est juste seulment pour 0<y<1 et pour tout x>0 !!
et je trouve aussi qu'il ya quelque chose qui cloche dans la demonstration de radouan pour x^y>x/(x+y) pour 0<y<1 et pour tout x>0 dans le probléme du mois mai

Salut OTHman;
je crois que c juste voial une preuve .
on considere la fct:
f(y)=x^(y+1)+y.x^y-x
f'(y)=ln(x).x^(y+1)+yln(x).x^y=ln(x).x^y.(x+y)
alors si x<1 on aurait f'(x)<0
alors f est decroissante==>
0<x²=f(1)=<f(y)
si x>1 f'(x)>0
==> f(x)>f(1)=x²>0
donc on tjs f(x)>0
==>x^(y+1)+y.x^y-x>0
==> (x^y)(x+y)>x
==>le resultat voulu sauf erreure.

salut selfrespect
prend ce contre exemple x=0.1 et y=2

otman4u a écrit:

salut selfrespect
prend ce contre exemple x=0.1 et y=2

salut OTHman ,
est ce que tu peux me localiser ou es l'erreure dans la demo prcedente ( en fait jai po une calculette pour le moment )
merçi