f(x)+f(y)+2xyf(xy) = f(xy)/f(x+y)

Trouver toutes les fonctions f: Q+ -> R+ telles que :
f(x) + f(y) + 2xy f(xy) = f(xy)/f(x+y).

f doit être à valeurs non nulles.
pour x=y=0 ==> 2f(0)=1
pour y=0 ==> f(x)+1/2=1/2f(x) <==>2 f(x)²+f(x)-1=0
<==>(2f(x)-1)(f(x)+1)=0 <==>f(x)=1/2

Je ne vois pas pourquoi Q+?

si on prend f:IR ->IR+* la solution de l'equation est encore f=1/2

Bonjour,

abdelbaki.attioui a écrit:

si on prend f:IR ->IR+* la solution de l'equation est encore f=1/2

Non, f= 1/2 ne marche jamais :
f(x) + f(y) + 2xy f(xy) = xy + 1
f(xy)/f(x+y) = 1


Je pense qu'il faut lire Q+* et R+*

--
Patrick

Encore un énoncé comme les autres . Donc, on doit d'abord corrigé l'énoncé avant d'en chercher la solution et là c'est une régle qu'il ne faut
pas oublier.

Bonjour,

mathman a écrit:

Trouver toutes les fonctions f: Q+ -> R+ telles que :
f(x) + f(y) + 2xy f(xy) = f(xy)/f(x+y).

En prenant Q+* vers R+*, j'ai au moins :

f(x) = 1/x^2

Mais il y en a probablement d'autres

A creuser ...

--
Patrick

Salut,

oui, je prenais encore "positif" dans le sens "strictement positif".

Et oui pour 1/x^2. (il n'y en a pas d'autres )

x=y=1 ==> 2f(1)+2f(1)=f(1)/f(2) <==> f(2)=1/4 car f(1)>0.
juste le début ....

dites si c vrai ou pas?
x=y=0 alors f(0)=1/2
y=0alors f(x)+f(0)=f(0)/f(x)
donc f(x)+1/2=1/(2f(x))
2f(x)²+f(x)-1=0

Non , f n'est pas définie en 0

x=y=1 ==> 2f(1)+2f(1)=f(1)/f(2) <==> f(2)=1/4 car f(1)>0
x=y=2 ==> f(2)+f(2)+8f(4)=f(4)/f(4)=1 ==> f(4)=1/16
x=2 et y=1 ==> f(2)+f(1)+4f(2)=f(2)/f(3) ==> 5/4+f(1)=1/4f(3)
x=3 et y=1 ==> f(3)+f(1)+6f(3)=f(3)/f(4) ==> f(1)=9f(3)=1/4f(3)-5/4
==> 9f(3)²+5f(3)/4-1/4=0 ==> (9f(3)-1)(f(3)+1/4)=0
==> f(3)=1/9 et f(1)=1
supposons que f(n)=1/n²
x=n et y=1 on a :
f(n)+f(1)+2nf(n)=f(n)/f(n+1)=1/n²+1+2/n = (n+1)² f(n)
==> f(n+1)= 1/(n+1)²
Il suffit de prolonger ceci à Q+*

merci mr abdelbaki
N==>N
f(2x)=3f(x)?

g_unit_akon a écrit:

merci mr abdelbaki
N==>N
f(2x)=3f(x)?

il y a une infinité de fonctions qui verifie f(2x)=3f(x).



par exemple si on prend g:S->S, tel que g(n)=n
on aura f((2^m)b)=3^mb
ou bien g(n)=n²-3
on aura f((2^m)b)=3^m(b²-b)

g_unit_akon a écrit:

merci mr abdelbaki
N==>N
f(2x)=3f(x)?

voir aussi.
https://mathsmaroc.jeun.fr/Olympiades-c2/Divers-f12/olympiade-de-fct-difficile-t1744.htm