olympiade de fct difficile

slt a tout le monde
definie les fcts f:IR--->IR
f(3x)=2f(x)
et merci
je veux la solution demain c obligatoire car je ss bloque

sait on si f est continue ou pas????

f(0)=0. Pour x#0 on a
f(x)=2f(x/3)=2²f(x/3²)=....=2^nf(x/3^n)=x(2/3)^n f(x/3^n)/(x/3^n)

Si f est dérivable en 0 ==> lim f(x/3^n)/(x/3^n)=f'(0)
et f(x)=0 .

salut
g(x)= x^(ln2/ln3) est une solution
essayer de trouver toutes les solutions a partir de g

slt a tout le monde
pour abdelbaki
j'ai rien pigee
pour moi il faut chercher les solution particuliers
en plus en conclus

slt a tout le monde
pour eto
oui c sa

f(x) = 0

slt a tout le monde
pour conan
par la remarque ou koi ??

elle est bien ton idée eto
en fait on utilise une méthode "variation de la constante" qu'on utilise souvent
pour les equations differentielles

si on a g(x) solution (par exemple x^(ln(2)/ln(3)))
alors on pose que h(x)=g(x)*f(x) est solution et on essai de resoudre

h(3x)=2h(x)
g(3x)f(3x)=2g(x)f(x) (avec g(3x)=2g(x) et g#0)

donc f(3x)=f(x)
d'ou, par recurence f(x)=f(x/3^n)

f continue donc qd n->infiny x/3^n -> 0
d'ou f(x)=f(0) et donc f est constante

donc la solution générale de ton probleme est
A*x^(ln(2)/ln(3))

Bonjour tout le monde,

Je trouve que beaucoup de propositions manquent de rigueur. Par exemple f(x) = a x^(ln(2)/ln(3)) n'est pas définie pour x négatif. C'est de plus très loin d'être la seule solution.

Par exemple f(x) = |x|^(ln(2)/ln(3)) e^(sin(2pi*ln(|x|)/ln(3)) pour x non nul prolongée par continuité à f(0)=0 est une solution continue non dérivable en 0.

Il existe aussi une infinité de solutions non continues très différentes.

Je pense qu'il faut :
1) préciser les conditions sur f dans l'énoncé (par exemple, comme le dit abdelbaki, la dérivabilité en 0 impliquerait la constance de f et donc le fait que f = 0).
2) alors seulement identifier avec rigueur les solutions.

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Patrick,
un peu rabat-joie

il est ou le probleme dans ma demonstration alor?

Salut Raa23,

Ton erreur est très subtile :

Raa23 a écrit:

si on a g(x) solution (par exemple x^(ln(2)/ln(3)))
alors on pose que h(x)=g(x)*f(x) est solution et on essai de resoudre

OK

Raa23 a écrit:

d'ou, par recurence f(x)=f(x/3^n)

OK

Raa23 a écrit:

f continue

Alerte ! Non!
h(x) est continue, mais cela n'implique pas f continue !

Regarde mon exemple :

h(x) = |x|^(ln(2)/ln(3)) e^(sin(2pi*ln(|x|)/ln(3))
Donc f(x) = e^(sin(2pi*ln(|x|)/ln(3))

évidemment f(x) n'est pas continue en 0.
Mais elle est bornée et comme on la multiplie par une fonction qui vaut 0 en 0, on peut néanmoins obtenir un résultat continu.

--
Patrick