recurrence forte

bonjour voici mon exo
u0=1
u1=k
Un+2=Un+1+Un
demontrer par recurrence forte que pr tt naturel n, Un= k^n et quelle est la nature de la suite?merci de m'aider je ne sais pa du tou par ou commencer merci d'avance!

les exerice et faut car si Un= k^n donc U2=k^2=u(0)+u(1)=1+k donc k^2=1+k (k-1)(k+1)=k on a k et (k-1)(k+1) non pas la meme (zawjya) donc c'est faut

effectivement une suite comme ça (k^n) ne peut pas s'ecrire sous forme de somme mais elle s'ecrit sous forme de produit

mel29 a écrit:

bonjour voici mon exo
u0=1
u1=k
Un+2=Un+1+Un
demontrer par recurrence forte que pr tt naturel n, Un= k^n et quelle est la nature de la suite?merci de m'aider je ne sais pa du tou par ou commencer merci d'avance!

1ère Partie.
BJR mel29 !!!!
Ton exo est bien connu des Services de Police et fiché dans tous les bouquins !!!!!
Il y a une ERREUR dans ton énoncé !!! Tu verras la suite .
Ta suite donc est une suite DOUBLEMENT RECURRENTE i.e pour connaitre u(n+2) il y a une formule faisant intervenir à la fois u(n+1) et un ; la connaissance de cette relation et des DEUX premiers termes de la suite implique que la suite est entièrement bien définie !!
On suppose qu'il existe une telle suite dont le terme général serait de la forme R^n alors , on devrait avoir :
u(n+2)=R^(n+2)=u(n+1)+un=R^(n+1)+R^n
soit R^n.{R^2-R-1}= pour tout n et cela exige donc :
R^2-R-1=0
Cette équation s'appelle EQUATION CARACTERISTIQUE du problème, elle admet deux solutions
R1=(1/2).(1-5^(1/2)) et R2=(1/2).(1+5^(1/2))
Vous reconnaissez là le NOMBRE D'OR !!!

2ème Partie.
Maintenant , on va essayer de trouver une solution de ton problème de la forme :
un=A.R1^n +B.R2^n pour tout entier n
avec A et B constantes à déterminer !!!
On vérifie très facilement que la relation de récurrence imposée initialement est satisfaite u(n+2)=u(n+1)+un pour tout n
( Simple vérification car R1 et R2 sont solutions de l'équation caractéristique ).
Quant aux 2 constantes A et B , elles sont obtenues en écrivant que :
uo=1 donc A+B=1
u1=k donc AR1+BR2=k
Petit système à résoudre et qui donnera :
A=(k-R2)/(R1-R2)=(5^(1/2)+1-2k)/(2.(5)^(1/2))
puis :
B=(5^(1/2)-1+2k)/(2.(5)^(1/2))
Voilà la réponse !!!
A+ LHASSANE