créé par un ami ( forte )

Soit : tels que : . Prouver que :

Je ne suis pas sûr à 100% de ma réponse, mais j'attaque avec Tchebyshev (chaque racine signifie racine cinquième):

Avec Cauchy-Schwarz:

Il suffit alors de prouver que :

ce qui est évident en élevant au cinquième et en sortant a^4b^4, a^4c^4 et b^4c^4, CQFD.
Il y'en a une plus forte:
Montrer sachant que abc = 1, que :

Bonsoir Oussama:
le passage en deuxième ligne tu veux dire qu'en utilisant C.S.on a :
***
Or c'est plutôt :

et je crois que *** n'est pas tjs valide, (à moins que vous la démontrez) sinon le raisonnement en découle faux!

Je voyais bien que quelque chose clochait, c'était trop facile.
Je reposterais demain inchallah pour réctifier ma faute, si personne ne le fait entre-temps.

On a plutôt :

Ca marche à tous les coups avec la méthode uvw, MoHe ?

MohE a écrit:

On a (ab)^4+(bc)^4+(ca)^4>=1/27(ab+bc+ca)^4>=1/9(ab+bc+ca)²(a+b+c) ce qui achève la preuve.

salut MohE!
je vois pas vraiment comment ceci finit la preuve !! veuillez m'éclaircir

Je poste ma solution j'éspère que jé pa commis une erreur de calcul
L_inégalité est equivalente à

mais puisque par Am_Gm on a

alors il suffit de Prouver que


Posons
donc il suffit de Prouver que

Puisque
il suffit de Montrez que

mais on a

et

donc il suffit de Prouver que

Sans perte de généralité supposons que
D'aprés L'inégalité de Cauchy-Shwarz on a

Maintenant si
alos
ce qui donne en divisant par 3(a+b+c)²

Si maitenant alors
L'inégalité est equivalente à

Posons



Alors puisque on a


Et on a


Donc il suffit de prouver que

ce quii vrai car


ce qui achève la preuve car on note que

avec u=c-b et v=a-c

Ce n'est pas ce que j'appellerais une solution élégante, mais je crois qu'elle est mieux que la mienne, car j'ai tout misé sur une erreur. Bien joué abdelmalek!

je ne te demandai pas de me montrer comment vous avez prouvé:
3V[(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)/(a+b+c)]>=ab+bc+ca
mais vous avez dit (ce qui achève la preuve) tu parles de la preuve de l'inégalité que vient abdek de résoudre (chapeau)..n'est ce pas?

Bonjour MohE jé pas bien saisit comment tu as appliqué Am-Gm si je suppose que tu l'as utilisé comme suit

alors il suffit de montré que mais celle ci né pa tjrs valide Merci d'avance

supposons a+b+c=3u et ab+bc+ac=3v² et abc=w^3=1
l'inégo est équivalente a :


Ainsi , il suffit de vérifier un seul cas :
a=b=1 sous la forme homogéne !!
d'ou

ce qui est vrais !