Inégalité forte

Soit u,v et w des réels strictements positifs.
Prouver que :

je travaille avec les variables a,b,c

celle ci est plus forte


supposons WLOG
en divisant par abc linégalité devient equivalent à

ou

D'apré Cauchy Shwarz on a



donc il suffit de prouver que

ou

et d'ou le resultat qui découle directment puisqu'on a l inégalité

Bien joué Abdek !
Sinon l'inégalité de départ est forte dans la mesure où le paramètre est le meilleur possible pour les inégalités de la forme :

Abdek_M a écrit:

celle ci est plus forte

Il faudrait démontrer que :

Puisque ; et sont les côtés d'un triangle, on obtient :

où est le demi-périmètre du triangle ; le rayon du cercle circonscrit au triangle et le rayon du cercle inscrit au triangle.
L'inégalité équivaut alors à :

Ce qui est clairement vrai d'après l'identité :

où est le centre du cercle inscrit au triangle et l'orthocentre du triangle.