ex1- rep
a) X_AX_B
b) X_A + X-B - X_AX_B
c) X_A+X_B -X_BX_A
d) X_A + X_B -X_AX_B
EX2-
a) f injective => qs X de P(E) : f^-1f(X)=X
=> " " : f^-1 o D(X) = id(X)
alors D injective.
supposons que f non injective montrons que D non injective
il existe x_1 <>x_2 et f(x_1)= f(x_2)
soit A={x_1} et B={ x_1,x_2} on a D(A) = D(B) et A<>B.
b) f surj => pout tout X de P(E) : f(f^-1)(X)= X
=> ..... : Dof^-1(X)= id(X)
alors Dest surjective
Rq : attention f^-1 est une application de P(E) vers P(E) et non pas la bijection réciproque de f!!!).
soit D surj montrons que f est surjective
soit y un élé de E alors Y={y} est dans P(E) donc il existe X dans P(E); D(X)=Y donc il existe x dans X (dans E); f(x)=y
autre dem D surj alors E admet un entécédant par D , il existe X dans P(E); f(X)=E ALORS f(E)=E et f est surjective.
ex3-
a) f injec => qs X partie de E : f^-1(f(X)= id(X).
=> ........................ Rof(X)=id(X)
alors Rest surjective.
suposons que R est surj
soit x_1 et x_2 élé de E ; f(x_1)= f(x_2)
alors il existe Y_1 et Y_2 , R(Y_1) ={x_1}et R(Y_2)={x_2}
alors f^-1(Y_1) ={x_1}et f^-1(Y_2)={x_2}
donc {x_2} C f^-1(f({x_1)) Cf^-1(Y_1)={x_1}
alors x_1 = x_2 et f est injective.
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