integrals

Salut que vaut les integrals suivantes :
et
(- )
A+

salut , 1 er :il faut etudier l'interabilite de ses int ,je crois que c'est ln(2) ,seulement une reflexion rapide

Sinchy a écrit:

salut , 1 er :il faut etudier l'interabilite de ses int ,je crois que c'est ln(2) ,seulement une reflexion rapide

lo c'est juste (j'ai calculé seulemnt la premiere !! et la 2eme not yet !! )

Bonsoir selfrespect ;


Je note I la seconde intégrale c'est un nombre réel strictement positif vu que c'est l'intégrale sur [0,1]
de la fonction f : x --> (x-1)/ln(x) , f(0)=0 , f(1)=1 qui est continue sur [0,1] et strictement positive sur ]0,1[.


Avec le changement de variable u=-ln(x) on aboutit à la forme généralisée I= int_{[0,+oo[} (e^(-u)-e^(-2u))du/u
si (pour a>0) on note Ia = int_{[0,a]} (e^(-u)-e^(-2u))du/u il est clair que Ia ---> I quand a ---> +oo
or Ia = int_{[0,a]} (1-e^(-2u))du/u - int_{[0,a]} (1-e^(-u))du/u
si dans l'intégrale bleue on fait le changement de variable v=2u on trouve que
Ia = int_{[a,2a]} (1-e^(-u))du/u = ln(2) - int_{[a,2a]} e^(-u)du/u
et il n'est pas difficile de voir que int_{[a,2a]} e^(-u)du/u --->0 quand a--->+oo (sauf erreur bien entendu)

Pour la deuxième intégrale, une très jolie solution consiste à utiliser le théorème de Fubini pour intégrer (x, y) |---> x^y sur le carré [0, 1] x [0, 1].
(et on trouve effectivement ln(2))

Pour la deuxième intégrale:I2:.Avec le changement de variable y=t² ,I2=int_(x)(x²)dt/ln(t) avec x£]0.1[ avec le changement de variable z=ln(t) on obtient I2=ln(2)+int_(lnx)(2lnx) (exp(z)-1)dz/z or int_(lnx)(2lnx) (exp(z)-1)dz/z--- 0 (x--- 1-) par suite I2= ln(2) (desolé j'ai des problemes avec mon clavier )

calculer . c'est mieux pour notre cas t=1

Salut je crois que c'est Ln(t+1) (sure)(demontration plus tard )

voila , bravo