arith

(x,y)£ N tel que
x+3x²=y+4y²
mq :
(x-y) un carré parfait

france 2005,voici une preuve tres courte:
x+3x²=y+4y² ==> (4y-3x)²=(x-y)(12x-12y+1)... .

rachid benchlikha a écrit:

france 2005,voici une preuve tres courte:
x+3x²=y+4y² ==> (4y-3x)²=(x-y)(12x-12y+1)... .

reste à prouver que 12x-12y+1 est un carré parfait pour déduire (je vois pas comment)

il suffit de remarquer que PGCD((x-y);(12(x-y)+1)=1

ma demo
(x^y)²=(x²^y²)=(x²-y²^y²)=((x-y)(x+y)^y²)=(x-y)((x+y)^(1+3(x+y))=x-y

meme demo ^^

voici d autre preuve (envoye par greatestsmaths)
http://www.hebergementimages.com/images/1214390979_9999.bmp

yassine-mansouri a écrit:

meme demo ^^

plutot meme idé
voila
on pose x^y = d
x=ad et y=bd avec a^b=1
3a²d²+ad=4b²d²+bd
<=> 3a²d+a=4b²d+b
<=>a-b=d(4b²-3a²)
<=> d/a-b

dautre part on a 3a²+a -3b²d-b=b²d
<=>(a-b)(3(a+b)+1) = b²d
<=>a-b/b²d
c facile a demontrer que (a-b) ^ b =1 (psq a ^ b =1)
dou (a-b) ^ b² =1
alors celon Gauss a-b/b²d et (a-b) ^ b² =1 ==> a-b/d

a-b/d et d/a-b donc
a-b=d
dou
ad-bd=d²
dou
x-y=d² ^^
A+++

stof065 a écrit:

ma demo
(x^y)²=(x²^y²)=(x²-y²^y²)=((x-y)(x+y)^y²)=(x-y)((x+y)^(1+3(x+y))=x-y

Joli methode
^^

merci a sat

stof065 a écrit:

ma demo
(x^y)²=(x²^y²)=(x²-y²^y²)=((x-y)(x+y)^y²)=(x-y)((x+y)^(1+3(x+y))=x-y

Très bien faite

(x^y)² = x^(2y) ??

non dans cette exo on a considéré le symbole ^ comme PGCD
et non pa x a la puissance y tu voi

lol!!
ok !

Autre demo :

on a x+3x²=y+4y² donc x-y+3(x²-y²)=y² donc (x-y)(3x+3y+1)=y²!!

On va montrer que pgcd((x-y);(3x+3y+1))=1 :

On pose pgcd((x-y);(3x+3y+1))=d donc evident que d|y ainsi d|x donc d|1 donc d=1 !!

Puis on sais que si le produit de deux nombres premiers entre eux est un carré alors ces deux nombres sont des carrés aussi !!

D'ou x-y est un carré !!