arithmétique !!

Soit n un entier naturel.

Montrer que 30 | n^5 - n

n£|N >1 plutot.
------------------------------------------------------------
n^5 - n = n (n^4 - 1) = n (n^2 - 1) (n^2 + 1) = n (n - 1) (n + 1) (n^2 + 1)

D'une autre part: n5 - n = (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2) + 5 (n – 1) n (n + 1)

Remarquons que: 30=5*2*3*1 [produit de 5 et de trois nombres consécutifs; il est divisible par 6 et par le facteur 5 du produit.].
et : 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 [produit de cinq nombres consécutifs. Il est divisible par 120].

On a: 120 | (n – 2) (n – 1) n (n + 1) (n + 2)
Et: 30 | 5 (n – 1) n (n + 1)
On sait que: PGCD(120,30) = 30
D'ou: 30 | (n5 – n)

CQFD.

Ya t-il une autre?

salam

5 premier ===> fermat : n^5 - n divisible par 5

n^5 - n = (n-1).n.(n+1)....... contient un produit de 3 entiers consécutifs =====> divisible par 6

5 et 6 premiers entre eux ====> n^5 - n divisible par 6.5=30


.

yassineno a écrit:

Soit n un entier naturel.
Montrer que 30 | n^5 - n

Posons et procédons par récurrence.
Pour n=0.
On a .
Donc .
Donc 30 divise .
Supposons que est divisible par 30 et montrons que l'est aussi.
Pour cela, posons: .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
On a est divisible par 6 quelquesoit n.
Posons: .
Ainsi, .
Donc .
Donc .
Avec , on obtient .
Il vient que 30 divise .
On conclut que pour tout n de 30 divise .
CQFD.

Je termine ce que je viens de commencer:
Montrons que 6 divise quelquesoit n de .
Posons et procédons par disjonction de cas:
Comme n est un entier, il s'écrit en utilisant l'une de ces expressions:
ou ou ou ou ou .
Le premier cas: .
On a .
Donc .
Ainsi 6 divise dans ce cas.
Le second cas: .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Ainsi 6 divise dans ce cas.
Le troisième cas: .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Ainsi 6 divise dans ce cas.
Le quatrième cas: .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Ainsi 6 divise dans ce cas.
Le quatrième cas: .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Donc .
Ainsi 6 divise dans ce cas.
Le dernier cas: .
On a .
Donc .
Donc .
Donc .
Ainsi 6 divise dans ce cas.
On conclut que 6 divise quelquesoit n de .
CQFD.
P.S: on pourra faire une longue disjonction de cas pour le problème initiale en posant n=30k ou n=30k+1 jusqu'à n=30k+29.
Cela est très fatiguant!
Cependant, elle reste l'une des methodes.

Ceci est un probleme classique de terminale ; il suffit de decomposer 30 en facteur premier entre eux et utiliser le theoreme de Fermat!

Il y'a une généralité qu'il faut savoir et qu'il est utile de démontrer :
Montrer que tout produit de n nombres consécutifs est divisible par n! (factorielle de n)

Ce petit theoreme va-t-il nous etre utile pour cet exercice ? ou bien vous parler en general ...?
Faut-il vraiment le démontrer ? Il parait assez évident car dans Z/nZ il n'ya que n classes d'ou le résultat !

Considérer le produit de n entiers consécutifs :


Le résultat en découle ..

Soit le produit de n nombres consécutifs commençant par un nombre quelconque t+1
(t+1)(t+2)…(t+n)
= t! (t+1)(t+2)…(t+n) / t!
= 1x2x3 … t*(t+1)(t+2)…(t+n) / t!
= (t+n) ! / t!
= t! (t+n) ! / (t! n!)
= n! Cnt+n
Soit la formule
(t+1)(t+2)…(t+n) = p! Cnt+n
Cnt+n = (t+1)(t+2)…(t+n) / n
Or les coefficients du binôme sont des nombres entiers:
Donc: (t+1)(t+2)…(t+n) est divisible par n!

[Enfin, j'ai étudier un cours (http://fr.wikipedia.org/wiki/Coefficient_binomial) grace à Newton.]
CQFD.

Il y'a des tonnes d'exercices de ce genre qui se cachent dans tout le programme TSM, elle peut aussi être utile au national, c'est une astuce à connaître en somme, mais une astuce parmi tant d'autres.

Merci Oussama pour la premiére astuce, je pense que je serais heureux d'honorer le programe SM l'année prochaine au 1bac

Othmaann a écrit:

Ce petit theoreme va-t-il nous etre utile pour cet exercice ? ou bien vous parler en general ...?

n(n+1)(n+1) est divisible par 3! = 6
Et avec Fermat, on trouve 5/n^5-n
D'où la conclusion, mais je dois dire que ce n'est pas le meilleur exercice pour appliquer cette astuce.

salam

c'est bien ma réponse oussama

je ne sais pas pourquoi , cette discussion allongée et inutile.

.