Comme S_(S_k) est une progression arithmétique, il existe un entier strictement positif N tel que S_(S_k)=(k-1)*N+S_(S_1) quel que soit l'entier strictement positif k.
Soit A le maximum de l'ensemble {S_(k+1)-S_k : k entier strictement positif}. Ce maximum existe car il est évidemment majoré par N. Supposons que ce maximum soit réalisé (entre autres) pour k=a.
Soit B le minimum de l'ensemble {S_(k+1)-S_k : k entier strictement positif}. Ce minimum existe car il est évidemment minoré par 1. Supposons que ce minimum soit réalisé (entre autres) pour k=b.
Comme S_(S_(a+1))=N+S_(S_a) et que A=S_(a+1)-S_a, il est clair que AB<=N<=A². De plus, l'égalité AB=N ne peut avoir lieu que si S_(k+1)-S_k=B pour tout k allant de (S_a) à (S_(a+1)-1).
Comme S_(S_(b+1))=N+S_(S_b) et que B=S_(b+1)-S_b, il est clair que B²<=N<=AB. De plus, l'égalité AB=N ne peut avoir lieu que si S_(k+1)-S_k=A pour tout k allant de (S_b) à (S_(b+1)-1).
Au total, il faut que N=AB et donc que :
- S_(k+1)-S_k=B pour tout k allant de (S_a) à (S_(a+1)-1),
- S_(k+1)-S_k=A pour tout k allant de (S_b) à (S_(b+1)-1).
On peut faire exactement le même raisonnement pour la sous-suite S_((S_k)+1) que pour la sous-suite S_(S_k), en notant M le nombre correspondant à N.
On trouve M=AB et il faut de plus que :
- S_(k+1)-S_k=B pour tout k allant de ((S_a)+1) à (S_(a+1)),
- S_(k+1)-S_k=A pour tout k allant de ((S_b)+1) à (S_(b+1)).
Oui mais en combinant tout ceci, on voit que :
- l'égalité S_(a+1)=A+S_(a) implique l'égalité S_(a+2)=A+S_(a+1),
- l'égalité S_(b+1)=B+S_(b) implique l'égalité S_(b+2)=B+S_(b+1).
En continuant de proche en proche, le même raisonnement, on trouve que A=B est nécessaire et donc que la suite S_k est donc nécessairement une progression arithmétique.
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