Jolie equation fonctionnelle

f:IR-->IR
1) f(1)=1
2) f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x & y dans IR
3) f(x)f(1/x)=1 pour tout x reel non nul.

Montrer que pour tout x dans IR on a f(x)=x.

Bonne chance.

kaderov a écrit:

f:IR-->IR
1) f(1)=1
2) f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x & y dans IR
3) f(x)f(1/x)=1 pour tout x reel non nul.

Montrer que pour tout x dans IR on a f(x)=x.

Bonne chance.

pour la 2)f(x+y)=f(x)+f(y) : c la fonction de cauchy , qui a pour seul solution f(x) = ax

et on a 1) f(1) = 1 donc a*1 = 1 d'ou a =1

d'ou la fonction devient f(x) = x

et pour la 3)f(x)f(1/x) = 1 on remarque que f(x) = x remplis la condition

Conan a écrit:

kaderov a écrit:

f:IR-->IR
1) f(1)=1
2) f(x+y)=f(x)+f(y) pour tout x & y dans IR
3) f(x)f(1/x)=1 pour tout x reel non nul.

Montrer que pour tout x dans IR on a f(x)=x.

Bonne chance.

pour la 2)f(x+y)=f(x)+f(y) : c la fonction de cauchy , qui a pour seul solution f(x) = ax
et on a 1) f(1) = 1 donc a*1 = 1 d'ou a =1

d'ou la fonction devient f(x) = x

et pour la 3)f(x)f(1/x) = 1 on remarque que f(x) = x remplis la condition

je crois que tu nas po la condition de continuité pour deduire cela (si c'etait le cas alors juste les deux premieres conditions peuvent resoudre le pb ° JE CROIS ^^

mais ou est le role de la contunité ici ?!

Conan a écrit:

mais ou est le role de la contunité ici ?!

jai montrer que pour tt x de Q f(x)=x et pour passer au reel il mez efaut la continuité ou bien autre chose et je crois que la troisieme condition est faite pour cela il fallait seulemnt reflechir tu vois !!
(dans ta demmo precedentes tu nas po utinuer scette condition mm si tu la dis en fait f(1)=1 et f(x+y)=f(x)+f(y) sans continuité ne te permet po de duire f(x)=ax je crois $$

selfrespect a écrit:

Conan a écrit:

mais ou est le role de la contunité ici ?!

jai montrer que pour tt x de Q f(x)=x et pour passer au reel il mez efaut la continuité ou bien autre chose et je crois que la troisieme condition est faite pour cela il fallait seulemnt reflechir tu vois !!
(dans ta demmo precedentes tu nas po utinuer scette condition mm si tu la dis en fait f(1)=1 et f(x+y)=f(x)+f(y) sans continuité ne te permet po de duire f(x)=ax je crois $$

Effectivement tu as raison, la premiere condition nous dit que f(x)=x pour tout rationnel,maintenant il faut passer à IR.
Pour passer à IR il y a plusieurs methodes:
1)Montrer que f est continue
2)Montrer que f est monotone.
3)Montrer que que l'ensemble {f(x)/x;x dans IR} est fini
4) f(x)f(1/x)=1
Je vous donne une indication très importante:
2/(1-x^2)=1/(1-x)+1/(1+x)
Avec cette indication Montrer que 4) ==> 2)