trés difficile mais....

qqs x>=0 , f'(x)=g(x) ( g c'est la réciproque def)
==> f'(x)>=0 ==> f est croissante. Comme f est injective
==> f est strictement croissante
g(0)>=0 ==> 0=f(g(0))>=f(0) ==> f(0)=0
==> f'(x)=g(x)>0 qqs x>0.
==> g est dérivable sur ]0,+00[ et g'(x)f'(g(x))=1 qqs x>0
==> f est de classe C 00 sur ]0,+00[.

En fait, f(0)=f'(0)=0 ceux sont les conditions initiales ( Cauchy)
==> l'unicité
soit x>0, f'(f(x))=x=f(f'(x)) ==> f'(x)f''(f(x))=1
==> f''(x)f''(f(x))+f'(x)²f'''(f(x))=0
==> f''(f'(x))f''(x)+f'(f'(x))²f'''(x)=0
==> f'''(x)<0 ==> f" strictement décroissante >0
==> f " admet une limite finie en +00 qui ne peut être que 0
sinon, f' puis f admettrait elle aussi une limite finie en +00

Je ne crois pas que les conditions initiales de cauchy peuvent garantir l'unicité. Sauf s'il existe une version du théorème plus généralisée que je ne connais pas.

Bonjour ;

une idée :

Soit la fonction h : IR+* ----> IR+* , x ----> xf'(x)/f(x)

pour tout y>0 et f(x)=y on a h(y)=xf(x)/fof(x)

la formule généralisée des accroissements finis donne z>0 tel que h(y)=1+1/h(z)

d'où Imh C ]1,2[

si m=inf Imh et M=sup Imh on doit avoir M=1+1/m et m=1+1/M

d'où h est constante de valeur le nombre d'or b=(1+V5)/2

le reste est facile (sauf erreur bien entendu)

je suis trés navré si je suis stupide mais j'ai pas bien compris votre idée Elhor,comment vous avez appliqué le TAF généralisé et d'où vient ce Imh£]1,2[?

TAF Généralisé : (u(a)-u(b))/(v(a)-v(b))=u'(c)/v'(c) avec a=x , b=0, u=xf , v=fof

en notant z le c on a pour tout y=f(x)>0 il existe z>0 tel que h(y)=(f(z)+zf'(z))/zf'(z)=1+1/h(z) non ???

L'idée est bonne Mr boukharfane ! Et si tu veux je peux la détailler d'avantage (sauf erreur bien entendu)

ok monsieur LHOr j'ai une solution qui a presque la mème idée mais si longue et compliquée j'éssayria de la poster aujourd'ui ou demain.

Alors Mr boukharfane tu n'as pas donné suite à ce topic et j'attends toujours ta solution

si c bijective c tt simplement f(x)=x .......................

on a fais ce exercice dans notre DS de math

ça m'étonnerait

Bonsoir ;
Pour plus de détails voir aussi http://www.mathsland.com/Forum/lire-message.php?forum=5&identifiant=849c0ceac9f391e78d28d93ee1eaff71 sauf erreur bien entendu

Je constate que le lien que j'avais indiqué ci-dessus ne fonctionne plus

J'ai donné cette équation comme ds à mes élèves (pcsi) l'année dernière