inégalité avec trois réels positives

Puisque a+b+c=1, alors les dénominateurs s'écrivent sous la forme d'un produit : c+ab=c(a+b+c)+ab=ca+cb+c²+ab=(c+a)(c+b).
Donc on obtient :
1/2 * [(a/a+c)+(b/b+c)] >= sqrt(ab/(a+c)(b+c)) d'après IAG.
De plus, (a/a+c)+(b/b+c) = 1, donc on applique IAG à tout les termes, et on somme toutes les inégalités, et on arrive à l'inégalité désirée.