Bonjour à tous,
f(x+y)+g(x-y)=2h(x)+2h(y)
En faisant y=x, on a f(2x)=4h(x)-g(0), ou encore :
(I) : f(x)=4h(x/2)+a (en appelant "a" la constante -g(0))
En faisant y=0, on a f(x)+g(x)=2h(x)+2h(0), ou encore g(x)=2h(x)+2h(0)-f(x), et donc :
(II) : g(x)=2h(x)-4h(x/2)-a+2h(0)
f et g peuvent donc s'exprimer en fonction de h.
En reportant les deux expressions dans l'équation initiale, on a donc :
4h((x+y)/2)+a+2h(x-y)-4h((x-y)/2)-a+2h(0)=2h(x)+2h(y)
Et, avec un simple changement de variable :
(III) : 2h(x)+h(2y)-2h(y)+h(0)=h(x+y)+h(x-y)
Cette équation III est une condition nécessaire et suffisante pour résoudre l'équation initiale.
Là, je commence à avoir des problèmes. Il est facile de dire :
- que l'ensemble des solutions de (III) est un R-espace vectoriel
- que h(x)=1, h(x)=x et h(x)=x^2 sont des solutions
- qu'il existe une infinité de solutions (construire comme pour Cauchy) si non continuité et axiome du choix
Je pense que l'on doit pouvoir montrer que, si continuité, l'espace vectoriel est de dimension 3 et (1, x, x^2) en est une base.
En attendant ce complément de démonstration, on a déjà une famille de solutions :
h(x)=ux^2+vx+w
f(x)=4h(x/2)+a = ux^2+2vx+4w+a
g(x)=2h(x)-4h(x/2)-a+2h(0)=ux^2-a
Il reste à montrer qu'en rajoutant l'hypothèse de continuité, ce sont les seules.
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