Arithmetique dans Z

Exo4) p=a²-b²=(a-b)(a+b) ==> a-b=1 et a+b=p
==> a=(p+1)/2 et b =(p-1)/2

Exo3) a^m=b^n avec (m,n)=1
Il est clair que tout nombre premier divisant a divise b et inversement. Donc a et b ont les mêmes diviseurs premiers.
Soit a=p_1^(a_1)....p_s^(a_s) et b=p_1^(b_1)....p_s^(b_s) les décompositions en facteurs premiers.
a^m=b^n ==> qqs i , ma_i=nb_i
==> qqs i , il existe k_i tq b_i=mk_i ainsi a_i=nk_i
Alors c=p_1^(k_1)....p_s^(k_s) répond à la question.

exo 3
il faut remarquer
c=c^u*n+v*m avec u,v£Z u*n+v*m=1

exo2
soit d un diviseur commun à a et b alors d/a et d/bc alors d/pgcd(a,bc).
soit p premier ; p/a et p/bc alors p/ a et p/c (car p^b=1 si non p/a^b=1 absurde),alors p/pgcd(a,b).

exo 1
a^b=1 supposons que (a+b)^ab<>1 alors il existe p premier ; p divise a+b et p divise ab alors p/a+b et (p/a ou p/b) => p/a et p/b => p/a^b=1 =>p=1 absurde...
2-trivial a+b)^pgcd(a,b)=pgcd(a,b).

Exo 5
U(n+1)+U(n)(1- U(n)= 1 ==> U(n+1)^U(n)=1 par Bezout
.....

abdelbaki, tu fais partie de l'ecole constructive ou quoi ????

t'aime bien montrer l'existence d'un objet en le construisant.