1) Soit a=(1+V5)/2 le nombre d'or et b=(1-V5)/2. On a alors a²=a+1 et b²=b+1 car ab=-1. les réels a et b sont les racines de l'équation caractéristique de la relation récurrente linéaire de degré 2 définissant la suite de Fibonacci alors les suites (a^n) et (b^n) vérifient la même relation.
2) On sait que les suites (a^n) et (b^n) engendrent l'espace vectoriel des solutions de la relation récurrente en question alors il existe u,v réels tels que F_n=ua^n+vb^n. On détermine u et v par les conditions initiales Fo=0 et F1=1.
Donc u+v=0 et ua+bv=1 ==> u=1/(a-b)=1/V5=-v.
Alors, pour tout n, F_n=u(a^n-b^n)
Mais |ub^n| =u/a^n<1/2 car a>1 et V5>2
==> -1/2<F_n-ua^n=-ub^n<1/2
==> F_n<ua^n+1/2<F_n+1 càd F_n=E[ua^n+1/2]
3) Soit n>1, F_(n+2)=E[ua^(n+2)+1/2]>ua^(n+2)>a^n
car ua²=u(a+1)>1.
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