limite complique

demontrer que
lim(x-->0)(tanx-x)/x^3=1/3

tu as déja la reponse tu peux donc utiliser la définition de limite c'est à dire :

a partir de lencadrement de f , tu trouves un encadrement de x ensuite tu exprimes alfa en fonction de epsilon et cest bon !

Othmaann a écrit:

tu as déja la reponse tu peux donc utiliser la définition de limite c'est à dire :

a partir de lencadrement de f , tu trouves un encadrement de x ensuite tu exprimes alfa en fonction de epsilon et cest bon !

c'est possible de calculer la limite sans passer par la definition ?

facile on va utiliser l'hopital^^

mehdi-47 a écrit:

facile on va utiliser l'hopital^^

C'est pratique, mais hors-programme malheureusement.

Pedro thunder a écrit:

demontrer que
lim(x-->0)(tanx-x)/x^3=1/3

Cette limite est un peu compliquée, à part la définition (cf. zakariaforever), ou le développement limité (programme prépas) tu n'a pas d'autre alternatives.
Il existe beaucoup de limites telles que la tienne, comme :

bsr : bonne exo pedro voila ce que je l'ai trouve je suis pas sur si il est vrais :
(limx==>0) (tanx - x)/x^3 -1/3 =(limx==>0) 3tanx -3x -x^3/3x^3
et on a : 3tanx-3x-x^3/3x^3 < 3tanx -3x-x^3
puisque (limx==>0)3tanx -3x-x^3 =0
donc (limsx==>0)3tanx -3x-x^3/3x^3 =0
ce qui conduit a : (limx==>0) (tanx -x)/x^3 -1/3=0
donc necesserement on aurait (limx==>0) tanx-x/x^3 =1/3
A+

Salut!
D'abord je vais calculer la lim quand x tend vers 0 de f(x)=(sin(x)-x)/x^3
Ensuite je vais l'utiliser pour calculé la limite de ce sujet!
On a x tend vers 0, donc 2x tend aussi vers 0, d'ou ils ont la meme limite que je la note Y.
Or f(2x)=(sin(2x)-2x)/(2x)^3
=(2sin(x)cos(x)_2x)/8x^3
=(sin(x)cos(x)-x)/4x^3
=(sin(x)cos(x)-xcos(x)+xcos(x)-x)/4x^3
=cos(x)(sin(x)-x)/4x^3 -x(1-cos(x))/4x^3
=f(x)*cos(x)/4 -(1-cos(x))/4x²
Et on a lim quand x tend vers 0 de f(2x)= lim quand x tend vers 0 de f(x)
car 2x et x tend tout les deux vers 0
donc
Y=Y*1/4 -1/4*(1/2)
D'ou Y=-1/6

ça d'une part
Maintenant on calcule la mil quand x tend vers 0 de (Tan(x)-x)/x^3

On a
(tan(x)-x)/x^3=(sin(x)-xcos(x))/x^3cos(x)
=(sin(x)-xcos(x)+x-x)/x^3cos(x)
=(sin(x)-x)/x^3*cos(x) +x(1-cos(x))/x^3cos(x)
=(1/cos(x))*(sin(x)-x)/x^3 +(1/cos(x))*(1-cos(x))/x²
maintenat on calcule la limite
lim quand x tend vers 0 de (tan(x)-x)/x^3=(-1/6)*1 +1*1/2
=1/3

achraf-djy

salut achraf_djy
le petit probleme de cette methode c'est tu n'a pa le droit de citer la limite de f(x) avant qu'on demontre qu'elle admet une limite

master a écrit:

bsr : bonne exo pedro voila ce que je l'ai trouve je suis pas sur si il est vrais :
(limx==>0) (tanx - x)/x^3 -1/3 =(limx==>0) 3tanx -3x -x^3/3x^3
et on a : 3tanx-3x-x^3/3x^3 < 3tanx -3x-x^3
puisque (limx==>0)3tanx -3x-x^3 =0
donc (limsx==>0)3tanx -3x-x^3/3x^3 =0
ce qui conduit a : (limx==>0) (tanx -x)/x^3 -1/3=0
donc necesserement on aurait (limx==>0) tanx-x/x^3 =1/3
A+

Aie aie aie ...
Si c'est vrai, alors:
(En admettant que le dénominateur est positif au voisinage de 0+)
Ce qui est totalement faux au voisinage de 0+
Réessayez ...

master a écrit:

bsr : bonne exo pedro voila ce que je l'ai trouve je suis pas sur si il est vrais :
(limx==>0) (tanx - x)/x^3 -1/3 =(limx==>0) 3tanx -3x -x^3/3x^3
et on a : 3tanx-3x-x^3/3x^3 < 3tanx -3x-x^3
puisque (limx==>0)3tanx -3x-x^3 =0
donc (limsx==>0)3tanx -3x-x^3/3x^3 =0(*)
ce qui conduit a : (limx==>0) (tanx -x)/x^3 -1/3=0
donc necesserement on aurait (limx==>0) tanx-x/x^3 =1/3
A+

Ta methode nest pas trés rigoureuse il ya des passages plutot louche , jmexplique :

Pour pouvoir deduire que la limite (*) est egale à 0 il faut montrer quelle est superieur à 0
Et l'encadrement utilisé nest pas toujours vrai non plus!
Et pour le dernier passage il n'est pas toujours vrai , meme si dans ce cas je pense que si. Je pense que pour que la lim f(x) - g(x) = lim f(x) - lim g(x) quand chacune des fonction f et g admet une limite déja et quelle soit finie

achraf_djy a écrit:

Salut!
D'abord je vais calculer la lim quand x tend vers 0 de f(x)=(sin(x)-x)/x^3
Ensuite je vais l'utiliser pour calculé la limite de ce sujet!
On a x tend vers 0, donc 2x tend aussi vers 0, d'ou ils ont la meme limite que je la note Y.
Or f(2x)=(sin(2x)-2x)/(2x)^3
=(2sin(x)cos(x)_2x)/8x^3
=(sin(x)cos(x)-x)/4x^3
=(sin(x)cos(x)-xcos(x)+xcos(x)-x)/4x^3
=cos(x)(sin(x)-x)/4x^3 -x(1-cos(x))/4x^3
=f(x)*cos(x)/4 -(1-cos(x))/4x²
Et on a lim quand x tend vers 0 de f(2x)= lim quand x tend vers 0 de f(x)
car 2x et x tend tout les deux vers 0donc
Y=Y*1/4 -1/4*(1/2)
D'ou Y=-1/6

ça d'une part
Maintenant on calcule la mil quand x tend vers 0 de (Tan(x)-x)/x^3

On a
(tan(x)-x)/x^3=(sin(x)-xcos(x))/x^3cos(x)
=(sin(x)-xcos(x)+x-x)/x^3cos(x)
=(sin(x)-x)/x^3*cos(x) +x(1-cos(x))/x^3cos(x)
=(1/cos(x))*(sin(x)-x)/x^3 +(1/cos(x))*(1-cos(x))/x²
maintenat on calcule la limite
lim quand x tend vers 0 de (tan(x)-x)/x^3=(-1/6)*1 +1*1/2
=1/3

achraf-djy

Je pense que ce qui est en rouge est faux ( po sur ) mais d'après ce que je sais tu n'as pas le droit de changer certaine variable de ta limite en constante et de laisser d'autre variables tel qu'elles sont !!

Salut!
pour darkpseudo ce que je fait c'est totalement juste !
Cette méthode est juste!!!!

On peut (presque) jamais etre sur d'une démonstration en maths surtout quand ya des calculs ... Mais ce que t'as fait ca me parait juste , sauf qu'il faut faire intervenir une autre limite qu'il faut connaitre à l'avance !

Mais est ce que vous avez trouvé une erreur?
(pour f(x) on peut accépter qu'elle a une limite, s'elle exciste c'est Y)!!!

we we les gars merci ,c'est pour cela j'ai dis que je suis pas sur 100%

ok je viens de presenter autre methode avec l'hopitale:
on appliquant le theoreme l'hopital on deduit (tgx -x)/x^3)'=1+tg²x/3x² et on a :
(1+tg²x/3x²)' = 2tgx/6x= tgx/3x
(tgx/6x)'=1+tg²x/3
alors limx==>0 1+tg²x/3 = 1/3
j'espere qu'il soit cette fois vrais
A+

que pensez vous???

L'hopitale dit que
lim x-->a[f(x)/g(x)]=f'(x)/g'(x)
alors
lim x-->0[(tanx-x)/x^3]=(tan0 - 0)/0^3 ?????

la methode de achraf_djy est la bonne

bsr pedro thunder pour l'hopital on a lim x==>a f(x)/g(x)=limx==>a f'(x)/g'(x) =limx==>a f''(x)/g''(x) ......=L
ou est la faute ??? dans la demonsration

lim x-->a[f(x)/g(x)]=f'(x)/g'(x)
pas
lim x-->a[f(x)/g(x)]=lim x-->a f'(x)/g'(x)

slt pedro il te faut un peu reviser et maitriser ce loi je te donne ce lien ou tu peux le comprendre bien :
http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A8gle_de_L%27H%C3%B4pital

N.B: veulliez voire les exemples qui sont assez comme le tienne

Bsr!
c'est juste ce qu'a fait master j'ai utilisé la meme methode et j'ai touvé que la limite est égale à 1/3.

Regardez l'exo 29 de Dima² . la règle de l'hopital y figure .

on peut la calculé seulement par l'application de la définition