SUItes Important

BJR je vs propose ceci :
(Un) est une suite definie par : U0=1 et Un+1 =1/(1+Un)
Posons a= (racine(5)-1)/2
1-demontrer que a= (1/1+a) et que U0>a
on pose Vn = U2n et Wn= U2n+1 kelke soit n appartenant a IN
2-Demontrer que Vn+1=F(Vn) et Wn+1=F(Wn) avec F(x)=(1+x)/2+x
3-Demontrer que (Vn) est decroissante et que (Wn) est croissante
4-Demontrez que quelque soit n ds IN : Wn<a<Vn

svp jai besoin de la reponse sur la question 3 ( croissante et decroissante)

SALUT !!

pour 1) evident !!!

en effet: a est une solution d'equation x² + x -1=0

donc: a(a+1)=1 ===> a= 1/(a + 1) (1=u0>a)

d'autre remarque: utilisation directe!!!!

2) V(n+1) = U(2n+2) = 1/(1 + U(2n+1) = 1/(1 + 1/(1 + u(2n)))

==> V(n+1) = [1 + V(n)]/[2 +V(n)] = F(V(n))

de meme pour (W(n))n.

3)

il est facile de montrer que V(n)>a

donc: F(Vn) - V(n) = -{(V(n)-a)(V(n) + phi)}/{v(n) + 2}

(phi nombre d'or)

donc F(V(n))=V(n+1)<V(n) d'où (V(n)) est décroissante.

et pour W(n)<a (facile a demontrer)

d'où le resultat.!!! ((W(n)).

4) déja demontré dans 3)

REmaRquE:

3) il y'a plusieurs façons pour 3) j'ai prefere cela car contient 2 question 3) et 4)

à ....++
______________________________
phi=1,61...={1+rac(5)}/2

Merci wagshall
pt tu poster une autre methode pr la 3 si c possbile ?

Salut
D'une façon générale ^^quand tu as V_{n+1}=f(V_n) tu utilise une démo par recurrence
pour n=0 tu compare V_0 et V_1 prenons par exemple V_1>V_0
puis tu étudies la monotonnie de la fonction f(supposons par exemple qu'elle est strictement croissante),puis tu écris
V_{n+2}=f(V_{n+1})>V_{n+1}=f(V_n).
donc selon la recurrence....

A+

merci Sami !