COntrôle à la maison (fard manziliyy)

Hello mathematiciens people, je voudrais vous demander un peu de l'aide pour résoudre un exercice de fard manziliyy ci dessous:

Démontrer que:
3^(5k) + 4^(5k+2) + 5^(5k+1) est un multiple de 11 quel que soit k. sachant que k appartient à N...

Pour l'instant, j'ai trouvé une solution assez fastidieuse :
3^(5k) + 4^(5k+2) + 5^(5k+1) =(3^5)^k + (4^5)^k*4^2 + (5^5)^k*5
Le reste de 3^5 sur 11 est 1 => le reste de 3^(5k) sur 11 est 1
Le reste de 4^5 sur 11 est 1, et celui de 4^2 sur 11 : 5=> le reste de 4^(5k+2) sur 11 est 5
Le reste de 5^5 sur 11 est 1, et celui de 5 sur 11 : 5=> le reste de 4^(5k+2) sur 11 est 5

Donc, le reste de 3^(5k) + 4^(5k+2) + 5^(5k+1) sur 11 est 11
<=> 3^(5k) + 4^(5k+2) + 5^(5k+1) est multiple de 11

Une autre réponse peut-être plus simple... Merci mhdi, tu m'as vraiment aidée!