" LoGiQue "

BJR TT Le MonDe !!


Voici 2 Exos De la Lecon de Logique de 1 S.M ( La premiere Lecon , et la Plus difficile ) :






A Vous

c facile le premier exo
on sait que
x²+y²≥2xy
x²+y²+x²+y²≥2xy+x²+y²
2x²+2y²≥(x+y)²
x²+y²≥(x+y)²/2 poUr tous x et y de IR
remplaçons x par a+1/a et y par b+1/b
alors
(a+1/a)²+(b+1/b)²≥(a+b+1/a+1/b)²/2
et on a+b=1
(a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+1/a+1/b)²/2 (1)
-------------------------------------------------------------
on sait que a²+b²≥2ab
alors a²+b²+2ab≥4ab
d'où (a+b)²≥4ab
alors (a+b)²/ab≥4
-----------------------------
(a+b)(1/a+1/b)=(a+b)(a+b)/ab (taw7id lma9am)
(a+b)(1/a+1/b)=(a+b)²/ab
et on a (a+b)²/ab≥4
alors (a+b)(1/a+1/b)≥4
et on a+b=1
alors 1/a+1/b≥4 (2)
-----------------------------------------------------------------------
de (1) on a (a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+1/a+1/b)²/2
et (2) on a 1/a+1/b≥4
alors (a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+4)²/2
alors (a+1/a)²+(b+1/b)²≥25/2

jolie demonstration majdouline!!

pour le deusieme c facile aussi de la meme methode
g demontré dans le premier exo que x²+y²≥(x+y)²/2 poUr tous x et y de IR
remplaçons x par (a/(a+b)+b/a+1) est y par (b/(a+b)+a/b+1)
alors
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²≥(a/(a+b)+b/(a+b)+a/b+b/a+2)²/2
on sait que a/(a+b)+b/(a+b)=(a+b)/(a+b) taw7id lma9am
alors a/(a+b)+b/(a+b)=1
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²≥(1+a/b+b/a+2)²/2
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²≥(3+a/b+b/a)²/2
a/b+b/a≥2V(a/b*b/a) (identié remarquable)
donc a/b+b/a≥2
alors
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²≥(3+2)²/2
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²≥5²/2
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²≥25/2

remarque: pour ce deusieme exo (a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²≥25/2 pour tout a et b de IR* .....
a+b=1 n'est pas une condition....enfin je n'ai pas utilisé a+b=1 pour le demontrer.....je crois que l'exo serait mieux de montrer que:(a+b/a+1)²+(b+a/b+1)²≥25/2
pour utiliser a+b=1

SAlut pour la premiere equation c'est facile :

aprés faire le carré l'equation est équivalente à:
1-V(x^4-x²)=(x-1)²
-V(x^4-x²)=(x-1)²-1
x^4-x²=x^4-4x^3+4x²
5x²-4x^3=0

x²(5-4x)=0
x=0 5-4x=0
x=5/4
et on sait que le racine carré doit etre tjr positif donc 0 n'est pas une solution

alors s={5/4}

utilisezzzz cauchy c mieux^^.
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)²>=[1+a/b+b/a+2]²/2>=25/2 >>t a raison maj c est pa la pene de donner une contrainte.
de meme pour l autre
(a+1/a)²+(b+1/b)²>=[1+1/a+1/b]²/2>=25/2

oui zakaria ...mais ce ne sont pas des exos d'olympiades ....des exos de cour (siences maths leçon logique comme a dit mouados)...on ne peut pas utiliser les theoremes

Oui Bravo a Vous Tous !! Tres bon travail , Perfect !

Pour Le premier exo , la condition a+b=1 n est que pour la Premiere , Mais Pour la deuxieme C'est Cas generale , mais c'est de ma faute Car j ai Manquee de precision .. Dsl J ai pas fais attention !!

Sinon , je Vois que Vous etes Tres Dynamiques .. J'ajouterai apres quelques Minutes quelques Exos

pour le dernier on a
V[(x+1)/(Vx-2)] - V[(Vx-2)/(x+1)]=-6
alors
V[(x+1)/(Vx-2)] - V[(Vx-2)/(x+1)]≤0
d'où V[(x+1)/(Vx-2)]<V[(Vx-2)/(x+1)]
on enleve la racine
(x+1)/(Vx-2)<(Vx-2)/(x+1)
puisque on a ecris x sous la racine il doit etre positif et puisque on a ecris [(x+1)/(Vx-2)] sous la racine il doit etre positif ..... puisque x+1 est positif alors Vx-2 est positif aussi
alors Vx-2>0
Vx>2 d'où x>4 (2)
de (1) on a (x+1)/(Vx-2)<(Vx-2)/(x+1)
alors (x+1)²<(Vx-2)²
x²+2x+1<x-4Vx+4
x²+x+2Vx-3<0
mais de (2) on a x>4 alors x>3
d'où x-3>0 alors x²+x+4Vx-3>0..
alors impossible que x²+x+4Vx-3<0
donc la solution est :l'ensemble vide parce qu'il n'existe pas un x tel que V[(x+1)/(Vx-2)] - V[(Vx-2)/(x+1)]=-6

majdouline a écrit:

c facile le premier exo
on sait que
x²+y²≥2xy
x²+y²+x²+y²≥2xy+x²+y²
2x²+2y²≥(x+y)²
x²+y²≥(x+y)²/2 poUr tous x et y de IR
remplaçons x par a+1/a et y par b+1/b
alors
(a+1/a)²+(b+1/b)²≥(a+b+1/a+1/b)²/2
et on a+b=1
(a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+1/a+1/b)²/2 (1)
-------------------------------------------------------------
on sait que a²+b²≥2ab
alors a²+b²+2ab≥4ab
d'où (a+b)²≥4ab
alors (a+b)²/ab≥4
-----------------------------
(a+b)(1/a+1/b)=(a+b)(a+b)/ab (taw7id lma9am)
(a+b)(1/a+1/b)=(a+b)²/ab
et on a (a+b)²/ab≥4
alors (a+b)(1/a+1/b)≥4
et on a+b=1
alors 1/a+1/b≥4 (2)
-----------------------------------------------------------------------
de (1) on a (a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+1/a+1/b)²/2
et (2) on a 1/a+1/b≥4
alors (a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+4)²/2
alors (a+1/a)²+(b+1/b)²≥25/2

pour a et b on connait pas leur signe peut etre ab est >0 donc on n'a pas le droit d'ecrire :(a+b)²≥4ab
alors (a+b)²/ab≥4
on sait selement que a + b =1
a peut etre négatif .....
a bientot

oui meryme c vrai ..mais on a rien.... a+b=1 on ne sait pas si ça appartient à IN ou IR ou Z ....mouados doit motionner qu'ils sont des reels strictement positifs....

on doit indiquer la nature de a et b

samix a écrit:

SAlut pour la premiere equation c'est facile :

aprés faire le carré l'equation est équivalente à:
1-V(x^4-x²)=(x-1)²
-V(x^4-x²)=(x-1)²-1
x^4-x²=x^4-4x^3+4x²
5x²-4x^3=0

x²(5-4x)=0
x=0 5-4x=0
x=5/4
et on sait que le racine carré doit etre tjr positif donc 0 n'est pas une solution

alors s={5/4}

tu crois po que t'avais négligé un cas quand t'avais fais au carré sans avoir passé à la valeur absolue!

Afaf a écrit:

samix a écrit:

SAlut pour la premiere equation c'est facile :

aprés faire le carré l'equation est équivalente à:
1-V(x^4-x²)=(x-1)²
-V(x^4-x²)=(x-1)²-1
x^4-x²=x^4-4x^3+4x²
5x²-4x^3=0

x²(5-4x)=0
x=0 5-4x=0
x=5/4
et on sait que le racine carré doit etre tjr positif donc 0 n'est pas une solution

alors s={5/4}

tu crois po que t'avais négligé un cas quand t'avais fais au carré sans avoir passé à la valeur absolue!

Non afaf ya une grande différence entre (Vx)² et V(x)²

aah ouii:oops: shuis en mal concentration pardon!

meryeem a écrit:

majdouline a écrit:

c facile le premier exo
on sait que
x²+y²≥2xy
x²+y²+x²+y²≥2xy+x²+y²
2x²+2y²≥(x+y)²
x²+y²≥(x+y)²/2 poUr tous x et y de IR
remplaçons x par a+1/a et y par b+1/b
alors
(a+1/a)²+(b+1/b)²≥(a+b+1/a+1/b)²/2
et on a+b=1
(a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+1/a+1/b)²/2 (1)
-------------------------------------------------------------
on sait que a²+b²≥2ab
alors a²+b²+2ab≥4ab
d'où (a+b)²≥4ab
alors (a+b)²/ab≥4
-----------------------------
(a+b)(1/a+1/b)=(a+b)(a+b)/ab (taw7id lma9am)
(a+b)(1/a+1/b)=(a+b)²/ab
et on a (a+b)²/ab≥4
alors (a+b)(1/a+1/b)≥4
et on a+b=1
alors 1/a+1/b≥4 (2)
-----------------------------------------------------------------------
de (1) on a (a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+1/a+1/b)²/2
et (2) on a 1/a+1/b≥4
alors (a+1/a)²+(b+1/b)²≥(1+4)²/2
alors (a+1/a)²+(b+1/b)²≥25/2

pour a et b on connait pas leur signe peut etre ab est >0 donc on n'a pas le droit d'ecrire :(a+b)²≥4ab
alors (a+b)²/ab≥4
on sait selement que a + b =1
a peut etre négatif .....
a bientot

comme g dis bonne remarque.....mais g une expliquaTion
prenons a=3/2 et b=-1/2
ALORS a+b=1

mais (a+1/a)²+(b+1/b)²=(3/2+2/3)²+(-1/2-2)²==(3/2+2/3)²+(1/2+2)²=(13/6)²+(5/2)²=169/36+25/4=(169+225)/36=394/36=10;944444444444444
OR 25/2=14;5
ALORS DANS CE CAS MEME SI a+b=1 (a+/a)²+(b+1/b)²≤25/2
----------------------------------------------------------------------
alors si a ou b sont negaif cette inegalité n'est pas tjs correcte pour tout a et b de IR .....je l'ai prouvé par un contre exemple
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
D'où l'inegalié es tjs correcte suelement si a e b son posiifs
-----------------------------------------------------------------------
P.S : mouados tu dois montionner qu'ils sont positifs

salut
oui majdoline c'est toute a fait vrai ta remarque
nous avons le meme exo dans le livre mais on a mentionné que a et b sont strictement positifs
donc je pense que Mouados a juste oublier
merci pour la remarque
c'est intéressant
a bientot

salut
j'ajoute que si a ou b =0
ça pose un probleme
on peut pas devisé ....
a bientot

Oui ! Bien vu !! j'ai Oubliee ..