application réciproque

Salut
soit f la fonction définie par f(x)=tan²(x)-2tan(x)/x£I=[0;pi/4]
1)démontrer que f est une bijection de I sur une intervalle J qu'on déterminera.
2)trouver f^{-1}

bonne chance

A+

Lut Frérot !!!!
1// swa u : t-----> u(t)=t^2-2t
et
v x-------->v(x)=tan(x)
v applike I=[0,Pi/4] sur [0,1] de maniaire bijective , continue et strictement monotone croissante
u applike |0,1] sur J=[0,-1] de maniaire bijective , continue et strictement décroissante
Donk f=uov sera une BIJECTION , continue strictement décroissante de I=[0,pi/4) sur J=[0,-1]

2// on sé ke f^(-1)=v^(-1) o u^(-1)
Or v^(-1)=Arctan(.)
et u^(-1) se kalkul fassilment ; en éfé :
l'ékassion s=t^2-2t avek 0<=t<=1 et -1<=s<=0
donnera t=1-rac(1+s) seule solussion acceptable
d'ou u^(-1)=1-rac(1+.)
et par suite f^(-1) : x ------> Arctan(1-rac(1+x))
définie sur J à valeurs dans I
Jaispair ke cé juste .. et ekscuzé mon franssé !

salut à tous:
je crois que si facile car:
f(x)=(tan(x)-1)²-1
il est clair que pr tt x;y£[0;pi/4]: x>y => tan(x)> tan(y) => f(x)<f(y) alors f est décroissante sur I puisqu'elle est continue alors elle est bijective de I vers f(I)=[-1;0].
soient x£J et y£I f-1(x)=y <=> f(y)=x <=> (tan(y)-1)²-1=x
<=> tan(y)= rac(x+1) <=>y=arctan(rac(x+1)).
alors pr tt x£[-1;0]; f-1(x) =arctan(rac(x+1))
_________________________________________________________
LaHouCiNe
@++

mathema a écrit:

salut à tous:
je crois que si facile car:
f(x)=(tan(x)-1)²-1
il est clair que pr tt x;y£[0;pi/4]: x>y => tan(x)> tan(y) => f(x)<f(y) alors f est décroissante sur I puisqu'elle est continue alors elle est bijective de I vers f(I)=[-1;0].
soient x£J et y£I f-1(x)=y <=> f(y)=x <=> (tan(y)-1)²-1=x
<=> tan(y)= rac(x+1) <=>y=arctan(rac(x+1)).
alors pr tt x£[-1;0]; f-1(x) =arctan(rac(x+1))_________________________________________________________
LaHouCiNe
@++

Lut Frérot !!!!
Eh Oui !! A 2H du Mat , le sommeil , les yeux qui se ferment et les erreurs te guettent et arrivent !!!!
T'as fait des grosses erreurs frérot !!!! Elles sont MULTIPLES et en ROUGE !!
Alors , rektifies-twa !!!!
Otrement , jé fé mieux ke ssa !

rectification :: pour causes de desolation etexcuses que je dois envers lotus bleu !!

BJR _Bigbobcarter_ !!!!
Je suis navré mon Gars !
Mais Lotus_Bleu a parfaitement raison !!
mathema a fait des FAUTES et on peut en discuter tout de suite !!!
Que Lahoucine soit en 3ème Année de Fac et Ex-Olympiens ne le dispense pas de faire des ERREURS !
Moi-même , j'en fait et je n'en ai pas honte !
Tu prends apparemment la défense du diable et sans avancer d'arguments convaincants à l'appui , on dirait !!!!
Toi aussi , en croyant que Lotus_Bleu s'est gourrée , tu t'es GOURRE encore PLUS !!!!
Si tu veux connaitre Lotus_Bleu , tu n'as qu'à me MPayer !!!!!

Re-BJR à Toutes et Tous !!

mathema a écrit:

salut à tous:
je crois que si facile car:
f(x)=(tan(x)-1)²-1
il est clair que pr tt x;y£[0;pi/4]: x>y => tan(x)> tan(y) => f(x)<f(y) alors f est décroissante sur I puisqu'elle est continue alors elle est bijective de I vers f(I)=[-1;0].
soient x£J et y£I f-1(x)=y <=> f(y)=x <=> (tan(y)-1)²-1=x
<=> tan(y)= rac(x+1) <=>y=arctan(rac(x+1)).
alors pr tt x£[-1;0]; f-1(x) =arctan(rac(x+1))......

mathema a fait des ERREURS signalées par Lotus_Bleu !!
C'EST CLAIR !!!
Je les explique à Tout le Monde pour que ce soit plus CLAIR à _Bigbobcarter_ notamment !!!!!

<< {Tan(y)-1}^2 -1 =x impliquerait
Tan(y)-1= rac(1+x) ou Tan(y)-1= -rac(1+x)
donc
Tan(y)=1+rac(x+1) ou Tan(y)=1-rac(1+x)
Partant de là , il faut choisir laquelle des DEUX et de manière cartésienne !
Or y est dans I=[0;Pi/4] donc 0<=Tan(y)<=1 d'ou Tan(y)-1<=0
c'est donc que Tan(y)=1-rac(x+1)
d'ou:
y=Arctan{1-rac(x+1)} >>

Alors _Bigbobcarter_ , tu veux m'enfoncer aussi ??!!
ou alors c'est toi qui manque de sommeil !!!

PS : _Bigbobcarter_ ! Tu as joué parfaitement le rôle de l' Arroseur Arrosé !!!

SALUT mr LHASSANE !!
vous ne savez pas combien g rit sur cet ARROSEUR ARROSé !!!!
je viens de comprendre ce que lotus_bleu a dit !! finalement ca me manque du sommeil c ce que je vais faire apres queques instants !! anyway :: sachez que je n'ai pas defendu mathema comme ca mais disons que je me suis defendu aussi puisque jai commis la meme erreur !! et pa suite g trouvé le meme resultat !!! je suis tt a fait avec vous que faire des fautes c'est humains puisque j'en ai fait des miliards !!
donc conclusion je rectifie ce que j'ai dit d'une facon a ne pas choquer !!! et avec mes excuses a mlle lotus beu !!!
PS : si vous trouvez une certaine arrogance dans mon language ne la prenez pas mal :: je suis marakchi et le "TA9CHAB" fait de note quotidien !!!!
A+ crdialement !!

Lotus_Bleu a écrit:

Lut Frérot !!!!
1// swa u : t-----> u(t)=t^2-2t
et
v x-------->v(x)=tan(x)
v applike I=[0,Pi/4] sur [0,1] de maniaire bijective , continue et strictement monotone croissante
u applike |0,1] sur J=[0,-1] de maniaire bijective , continue et strictement décroissante
Donk f=uov sera une BIJECTION , continue strictement décroissante de I=[0,pi/4) sur J=[0,-1]

2// on sé ke f^(-1)=v^(-1) o u^(-1)
Or v^(-1)=Arctan(.)
et u^(-1) se kalkul fassilment ; en éfé :
l'ékassion s=t^2-2t avek 0<=t<=1 et -1<=s<=0
donnera t=1-rac(1+s) seule solussion acceptable
d'ou u^(-1)=1-rac(1+.)
et par suite f^(-1) : x ------> Arctan(1-rac(1+x))
définie sur J à valeurs dans I
Jaispair ke cé juste .. et ekscuzé mon franssé !

Bonne solution Bonne redaction rien a dire

A++