exercice

a et b appartient à R+
montrer que:a+b=1=>(a²+b²akbar mine aw yossawi 1/2 et ab aseghar min aw yossawi 1/4)

slt, voilà pour cet exo :
nous savons que (1/2-b)^2 >= 0, donc b-b^2<= 1/4
( 1 - b )b <= 1/4 , et puisque a+b=1 on obtient : ab<= 1/4.
et de même, nous savons que ( a - 1/2 )^2 >= 0
donc : a^2-a+1/4>= 0 => 2a^2 -2a + 1/2 >=0
=> a^2 + 1 -2a + a^2 >= 1/2
=> a^2 + (1-a)^2 >= 1/2
et puisque a+b=1 : a^2 + b^2 >= 1/2
j'espère que c'est assez clair

est ce que ^ signifie à la puissance ²

استنتج ان
a+b=1=>(a+1/a)²+(b+1/b)² akbar mine aw yossawi 25/2

بين ان
(a/(a+b)+b/a+1)²+(b/(a+b)+a/b+1)² akbar mine aw yossawi 25/2

montrer que
quelque soit x appartient à 0;pi/2
((cos à la puissance 4 +1)/cos²x)²+((sin à la puissance 4 +1)/sin²x) akbar mine aw yossawi 25/2

mathmath a écrit:

a et b appartient à R+
montrer que:a+b=1=>(a²+b²akbar mine aw yossawi 1/2 et ab aseghar min aw yossawi 1/4)

sachons que : a+b>= 2racine(ab) et a+b=1
alors : 1>= 2racine(ab) => racine(ab)=<1/2
=> ab=<1/4
sachons aussi que a²+b²-1/2=(a+b)²-1/2-2ab
= 1/2-2ab
nous savons que ab =< 1/4 alors : -2ab >=-1/2
alors 1/2 - 2ab>= 0
alors on conclut que a²+b²>= 1/2

mathmath a écrit:

استنتج ان

a+b=1=>(a+1/a)²+(b+1/b)² akbar mine aw yossawi 25/2

(a+1/a)²+(b+1/b)²= a²+1/a²+2+b²+1/b²+2
= a²+b²+4+(a²+b²)/(ab)²
a²+b²>=1/2
et
ab=<1/4 =>( 1/ab)²>=16
alors : (a²+b²)/(ab)² >=8
alors : a²+b²+4+(a²+b²)/(ab)²>=1/2+4+8
a²+b²+4+(a²+b²)/(ab)²>=25/2